Terme general d'una successió

Dada la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula els seus cinc primers termes.

Comprova matemàticament si el nombre $47$ pertany a la successió de terme general $c_n = 3n + 2$. En cas afirmatiu, indica quin lloc ocupa en aquesta successió.

Dada la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, troba l'expressió del terme general de la successió diferència definida com a $d_n = a_{n+1} - a_n$ i simplifica el resultat al màxim.

Escriu el terme general $f_n$ de la següent successió de fraccions:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Troba el terme general $a_n$ de la següent successió combinant els patrons que regeixen el seu numerador i el seu denominador de manera independent:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Escriu el terme general d'una successió els termes de la qual són nombres enters consecutius però amb signes alternats:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Troba un únic terme general explícit $a_n$ per a la successió $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilitzant l'expressió $(-1)^n$ per unificar el comportament dispar que presenten els termes parells i els termes senars.

Donada la llei de recurrència $a_1 = 2$ i $a_n = 3a_{n-1} - 1$ per a $n \ge 2$, calcula els quatre primers termes de la successió.

Una successió recurrent es defineix mitjançant les condicions inicials $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ i la llei de recurrència $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ per a tot $n \ge 3$. Calcula els termes de la successió fins a $x_6$ i dedueix una fórmula explícita per al terme general $x_n$ en funció de potències de $2$.

Es defineix la successió $a_n$ mitjançant la relació de recurrència $a_1 = 3$ i $a_n = 2a_{n-1} + 1$ per a $n \ge 2$. Per trobar el seu terme general explícit, defineix una nova successió auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demostra que $b_n$ és una progressió geomètrica, troba el seu terme general $b_n$ i, a partir d'aquest, dedueix el terme general de $a_n$.

Una població d'algues microscòpiques en un llac controlat triplica la seva superfície coberta cada setmana. Si en la primera setmana (setmana $n=1$) cobreixen una superfície de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escriu el terme general $S_n$ que representa la superfície coberta al cap de $n$ setmanes.
2. b) Calcula quantes setmanes completes han de passar perquè la superfície coberta superi per primera vegada els $1000 \text{ m}^2$.

El valor de mercat d'un cotxe nou és de $24\,000$ €. S'estima que cada any perd un $15\,\%$ del seu valor respecte a l'any immediatament anterior. Troba el terme general $V_n$ que expressa el valor del cotxe al cap de $n$ anys (considerant $n=0$ el moment de la compra), i determina el seu valor estimat al cap de $5$ anys.

Un atleta aficionat es prepara per a una mitja marató. El primer dia d'entrenament corre $5$ km, i decideix augmentar la distància diària en $500$ metres exactes respecte al dia anterior. Expressa el terme general $d_n$ de la distància en quilòmetres recorreguda el dia $n$. Quin dia del seu entrenament correrà exactament $15$ km?