Quan puges una costa, la teva alçada canvia sense salts: a cada instant hi ha una alçada, i un instant després en tens gairebé la mateixa. Però el preu d'un aparcament per hores sí que fa salts: a les $2{,}99$ hores pagues una tarifa i a les $3{,}00$ hores, de cop, una altra de més gran. La primera situació és contínua; la segona, no. En aquest apartat convertiràs aquesta intuïció en un criteri precís, fent servir els límits que ja coneixes.
Una funció és contínua en $x=a$ si la seva gràfica no es trenca allà: el valor al qual «s'acosta» la funció pels dos costats coincideix amb el valor que realment pren en $a$.
Practica★☆☆Sense començar
Expressa la funció $h(x) = |x - 3|$ com una funció definida a trossos i demostra analíticament que és contínua a $x = 3$.
Expressa la funció $h(x) = |x - 3|$ com una funció definida a trossos i demostra analíticament que és contínua a $x = 3$.
Quan falla alguna de les tres condicions, la funció és discontínua en aquest punt. Estudiarem tres tipus habituals. No esgoten tots els casos: $\sin(1/x)$ oscil·la sense límit quan $x\to0$ i la seva discontinuïtat no és de cap d'aquests tres tipus.
Practica★☆☆Sense començar
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en quins punts és discontínua i classifica el tipus de discontinuïtat que presenta.
Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en quins punts és discontínua i classifica el tipus de discontinuïtat que presenta.
Observa la representació gràfica següent d'una funció $f(x)$ i determina els punts on presenta discontinuïtats, classificant-les en evitables, de salt finit o de salt…
Observa la representació gràfica següent d'una funció $f(x)$ i determina els punts on presenta discontinuïtats, classificant-les en evitables, de salt finit o de salt infinit.
La funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. Quin valor numèric hauria de prendre $f(2)$ perquè la funció sigui contínua en aquest…
La funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no està definida a $x = 2$. Quin valor numèric hauria de prendre $f(2)$ perquè la funció sigui contínua en aquest punt?
Si cada expressió és contínua en el seu tram, només cal comprovar a més els punts d'empalmament. Si no, també cal estudiar les discontinuïtats interiors de cada expressió. Allà cal comparar els límits laterals.
Practica★★☆Sense començar
La tarifa d'un aparcament públic es calcula mitjançant la funció $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, on $t$ és el temps en hores i $\text{ENT}(t)$ representa la funció…
La tarifa d'un aparcament públic es calcula mitjançant la funció $C(t) = 2 + 1,5 \cdot \text{ENT}(t)$, on $t$ és el temps en hores i $\text{ENT}(t)$ representa la funció part entera de $t$.
Identifica els punts de discontinuïtat d'aquesta funció en l'interval $(0, 4)$ i explica el significat real d'aquestes discontinuïtats per a un usuari de l'aparcament.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Cercar paràmetres perquè una funció a trossos sigui contínua
El problema més típic: donat un paràmetre desconegut en una de les expressions, trobar el valor que fa que no hi hagi salt.
Practica★★☆Sense començar
Una companyia de telefonia mòbil ofereix una tarifa de dades amb les condicions següents: es paga una quota fixa de $10$ € que inclou els primers $5$ GB. Per cada GB…
Una companyia de telefonia mòbil ofereix una tarifa de dades amb les condicions següents: es paga una quota fixa de $10$ € que inclou els primers $5$ GB. Per cada GB addicional fins a arribar als $20$ GB, es paguen $2$ €. A partir dels $20$ GB, el preu segueix l'expressió $a + 1,5x$, on $x$ és el total de GB consumits.
Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la funció que representa el cost total sigui contínua en tot moment i escriu l'expressió analítica completa d'aquesta funció.
Si una funció contínua passa de valors negatius a positius (o al revés) en un interval, és perquè en algun punt intermedi va haver de creuar el zero. La continuïtat —sense salts— garanteix que no pot «passar per sobre» sense tocar l'eix.
Practica★★☆Sense començar
Demostra, utilitzant el teorema de Bolzano, que l'equació $x^3 + 2x - 4 = 0$ té almenys una solució real en l'interval $(1, 2)$. Justifica totes les condicions…
Demostra, utilitzant el teorema de Bolzano, que l'equació $x^3 + 2x - 4 = 0$ té almenys una solució real en l'interval $(1, 2)$. Justifica totes les condicions necessàries per aplicar el teorema.
El gràfic següent il·lustra el principi del teorema de Bolzano per a una funció polinòmica contínua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observant la gràfica i avaluant la funció,…
El gràfic següent il·lustra el principi del teorema de Bolzano per a una funció polinòmica contínua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observant la gràfica i avaluant la funció, troba un interval de longitud 1 (és a dir, $[n, n+1]$ amb $n \in \mathbb{Z}$) on es pugui garantir l'existència d'una arrel real, justificant la teva resposta.
Sigui $f$ una funció contínua en l'interval tancat $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ per a tot $x \in [0, 1]$. Demostra, recolzant-te en el teorema de Bolzano, que…
Sigui $f$ una funció contínua en l'interval tancat $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ per a tot $x \in [0, 1]$. Demostra, recolzant-te en el teorema de Bolzano, que existeix almenys un punt $c \in [0, 1]$ en el qual la gràfica de la funció talla la paràbola $y = x^2$, és a dir, demostra que $f(c) = c^2$. (Pista: Defineix una funció auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).