Definició de derivada d'una funció en un punt
A 4t d'ESO ja vas veure que, en estrènyer l'interval $[a, a+h]$ fins que $h$ tendeix a $0$, la taxa de variació mitjana s'estabilitza en un nombre. Ara toca escriure-ho amb tot el rigor del límit: aquesta és la derivada, i a 1r de Batxillerat la faràs servir com una eina de càlcul, no només com una idea intuïtiva.
El límit del quocient incremental
Calcula, utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ per a la funció $f(x) = x^2 + 3$.
Calcula, utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ per a la funció $f(x) = x^2 + 3$.
Troba la taxa de variació instantània (derivada) de la funció $f(x) = 3x - 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$, aplicant el límit del quocient d'increments.
Troba la taxa de variació instantània (derivada) de la funció $f(x) = 3x - 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$, aplicant el límit del quocient d'increments.
Dues formes d'escriure la mateixa definició
Donada la funció $f(x) = 2x^2 - x$, utilitza l'expressió alternativa de la definició $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ per trobar la derivada en el punt…
Donada la funció $f(x) = 2x^2 - x$, utilitza l'expressió alternativa de la definició $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ per trobar la derivada en el punt $a = -1$.
Utilitzant la definició de derivada mitjançant límits, calcula $f'(3)$ per a la funció racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.
Utilitzant la definició de derivada mitjançant límits, calcula $f'(3)$ per a la funció racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.
Derivades laterals i punts angulosos
Igual que amb els límits, si el quocient incremental es calcula només amb $h\to0^+$ o $h\to0^-$ s'obtenen les derivades laterals. La funció és derivable en $a$ només si les dues existeixen i coincideixen.
Demostra, calculant explícitament els límits laterals del quocient d'increments, que la funció de valor absolut $f(x) = |x - 3|$ no és derivable en el punt $x = 3$.
Demostra, calculant explícitament els límits laterals del quocient d'increments, que la funció de valor absolut $f(x) = |x - 3|$ no és derivable en el punt $x = 3$.
Estudia si la funció següent definida a trossos és derivable en $x = 2$, comprovant prèviament la seva continuïtat i aplicant després la definició de derivades laterals:…
Estudia si la funció següent definida a trossos és derivable en $x = 2$, comprovant prèviament la seva continuïtat i aplicant després la definició de derivades laterals:
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Derivabilitat i continuïtat
Estudia si la funció següent definida a trossos és derivable en $x = 2$, comprovant prèviament la seva continuïtat i aplicant després la definició de derivades laterals:…
Estudia si la funció següent definida a trossos és derivable en $x = 2$, comprovant prèviament la seva continuïtat i aplicant després la definició de derivades laterals:
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Fer servir la definició per trobar la recta tangent
Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = x^2$ en el punt d'abscissa $x = 2$. Per fer-ho, calcula primer el pendent $m = f'(2)$ utilitzant la definició de…
Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = x^2$ en el punt d'abscissa $x = 2$. Per fer-ho, calcula primer el pendent $m = f'(2)$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit.
Troba l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en l'origen de coordenades. Has de calcular el pendent avaluant el límit de la definició de…
Troba l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en l'origen de coordenades. Has de calcular el pendent avaluant el límit de la definició de derivada en $x = 0$.
Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^3 - x$ que siguin estrictament paral·leles a la recta d'equació $y = 2x + 1$. Per resoldre-ho, has…
Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^3 - x$ que siguin estrictament paral·leles a la recta d'equació $y = 2x + 1$. Per resoldre-ho, has d'obtenir primer l'expressió general del pendent $f'(x)$ aplicant la definició de derivada per límits.