Problemes de límits i continuïtat
Un límit mai no és només un càlcul: quan dius «la temperatura del cafè tendeix a $22\,°C$» o «el cost mitjà tendeix a $5\,€$ per unitat», fas servir el límit per predir què passa a molt llarg termini sense haver d'esperar que passi. En aquest apartat aplicaràs tot el que has après —límits, continuïtat, asímptotes— a problemes amb context real.
Límits que prediuen un valor d'equilibri
Molts fenòmens (refredament, poblacions, concentració d'un fàrmac) s'apropen a un valor estable a llarg termini. Aquest valor és, precisament, el límit quan la variable tendeix a infinit.
La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'una tassa de cafè en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límit de…
La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'una tassa de cafè en funció del temps $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = 22 + 65 e^{-0,05t}$. Calcula el límit de la temperatura quan el temps tendeix a infinit i interpreta el significat físic d'aquest resultat.
El nombre d'individus d'una població de cérvols en un parc natural es modelitza mitjançant la funció $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, on $t$ és el temps…
El nombre d'individus d'una població de cérvols en un parc natural es modelitza mitjançant la funció $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, on $t$ és el temps transcorregut en anys des del 2020. Cap a quin valor tendeix la població a molt llarg termini?
Continuïtat en models a trossos de la vida real
Les tarifes per trams, els impostos progressius o els sous amb comissió se solen definir a trossos. Estudiar-ne la continuïtat detecta si hi ha «salts injustos» en el model.
Una companyia telefònica cobra segons la funció $C(x)$ (en euros), on $x$ són els gigabytes consumits en un mes:…
Una companyia telefònica cobra segons la funció $C(x)$ (en euros), on $x$ són els gigabytes consumits en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudia la continuïtat de la funció en $x = 10$ calculant els límits laterals i indica si hi ha cap salt brusc en la tarifa.
El salari mensual d'un venedor és $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, on $x$ és el nombre de vendes…
El salari mensual d'un venedor és $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, on $x$ és el nombre de vendes realitzades. Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la funció sigui contínua en $x = 50$, evitant així un salt injustificat en el sou.
La concentració d'un contaminant químic en un riu es modelitza amb la funció:…
La concentració d'un contaminant químic en un riu es modelitza amb la funció:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Troba els valors de $a$ i $b$ perquè el model de concentració sigui una funció contínua en tot moment.
La velocitat instantània com a límit d'un quocient
El quocient $\dfrac{e(2+h)-e(2)}{h}$ (espai recorregut entre dos instants molt pròxims) s'assembla a un $\frac00$: numerador i denominador tendeixen a $0$ alhora. Simplificant abans de fer $h\to0$, el límit revela la velocitat instantània. És la primera idea de derivada, que veuràs en el bloc següent.
L'espai recorregut per un mòbil en metres ve donat per la funció $e(t) = t^2 + 3t$. La velocitat mitjana entre els instants $t = 2$ i $t = 2+h$ es calcula mitjançant el…
L'espai recorregut per un mòbil en metres ve donat per la funció $e(t) = t^2 + 3t$. La velocitat mitjana entre els instants $t = 2$ i $t = 2+h$ es calcula mitjançant el quocient $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcula el límit d'aquesta expressió quan $h \to 0$ per trobar la velocitat instantània en $t = 2$.
Límits amb la indeterminació $\infty-\infty$ en context
Quan es resten dues expressions que creixen sense límit, el resultat no és evident: cal transformar l'expressió (conjugat, factor comú) abans de prendre el límit, igual que en les successions.
El capital acumulat en un compte bancari amb interès compost continu es pot modelitzar mitjançant el límit…
El capital acumulat en un compte bancari amb interès compost continu es pot modelitzar mitjançant el límit $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, on $n$ és el nombre de períodes de capitalització per any. Si el capital inicial és $C_0 = 5000$ euros i la taxa anual és $r = 0,04$, calcula el límit per obtenir la fórmula del capital continu i determina el saldo al cap de $t = 10$ anys.
El benefici a llarg termini d'una empresa de tecnologia ve donat per la diferència entre dos models de previsió d'ingressos i costos:…
El benefici a llarg termini d'una empresa de tecnologia ve donat per la diferència entre dos models de previsió d'ingressos i costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, on $t$ és el temps en mesos. Calcula el límit del benefici quan $t \to \infty$ multiplicant i dividint per l'expressió conjugada.
Bolzano aplicat a problemes d'equilibri
Quan un model barreja dos tipus de creixement diferents (exponencial i polinòmic, per exemple), Bolzano permet demostrar que existeix un punt d'equilibri sense haver de resoldre l'equació.
Una empresa estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) segueixen la funció $I(x) = 2^x - x^2$, i els seus costos operatius són $C(x) = \frac{10}{x+1}$,…
Una empresa estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) segueixen la funció $I(x) = 2^x - x^2$, i els seus costos operatius són $C(x) = \frac{10}{x+1}$, on $x$ és el preu del producte en euros ($x \ge 0$). Demostra, justificant la teva resposta mitjançant el teorema de Bolzano, que existeix un preu $x$ en l'interval $[4, 5]$ per al qual l'empresa té un benefici estrictament nul.
El percentatge d'impostos $I(x)$ que paga una empresa en funció dels seus beneficis $x$ (en centenars de milers d'euros) es regeix per la llei següent:…
El percentatge d'impostos $I(x)$ que paga una empresa en funció dels seus beneficis $x$ (en centenars de milers d'euros) es regeix per la llei següent:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció impositiva sigui contínua en tot el seu domini.