Exercicis
Ja coneixes les quatre còniques per separat. El repte ara és distingir-les ràpidament: donada una equació o un enunciat, decidir en pocs segons si és circumferència, el·lipse, hipèrbola o paràbola, i resoldre el problema complet.
Quina cònica és? Mira l'equació general
Determina les coordenades del centre i la longitud del radi de la circumferència l'equació general de la qual és $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina les coordenades del centre i la longitud del radi de la circumferència l'equació general de la qual és $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Troba la longitud dels semieixos, les coordenades dels focus i l'excentricitat de l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Troba la longitud dels semieixos, les coordenades dels focus i l'excentricitat de l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina els seus vèrtexs, els seus focus i les equacions de les seves asímptotes.
Donada la hipèrbola d'equació $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina els seus vèrtexs, els seus focus i les equacions de les seves asímptotes.
Quina cònica és? Mira l'enunciat
Quan no hi ha equació, fixa't en quina condició descriu el problema:
Troba l'equació de la mediatriu del segment els extrems del qual són els punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$.
Troba l'equació de la mediatriu del segment els extrems del qual són els punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$.
Identifica el lloc geomètric dels punts del pla la diferència de distàncies dels quals, en valor absolut, als punts $F_1(5, 0)$ i $F_2(-5, 0)$ és sempre igual a $8$.…
Identifica el lloc geomètric dels punts del pla la diferència de distàncies dels quals, en valor absolut, als punts $F_1(5, 0)$ i $F_2(-5, 0)$ és sempre igual a $8$. Escriu la seva equació reduïda.
Un dron submarí es mou de manera que la seva distància a una boia fixa a $A(-2, 0)$ és sempre el doble de la seva distància a una altra boia fixa a $B(4, 0)$. Troba…
Un dron submarí es mou de manera que la seva distància a una boia fixa a $A(-2, 0)$ és sempre el doble de la seva distància a una altra boia fixa a $B(4, 0)$. Troba l'equació de la trajectòria del dron, simplifica-la i identifica quin tipus de corba geomètrica descriu.
Problemes de context amb diversos passos
Els problemes de context real gairebé mai donen directament $a$, $b$ o $c$: cal traduir primer l'enunciat a aquestes dades.
Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un planeta, el qual es troba situat en un dels seus focus. La distància mínima del satèl·lit al planeta…
Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un planeta, el qual es troba situat en un dels seus focus. La distància mínima del satèl·lit al planeta (periastre) és de $3 \text{ Mm}$ i la distància màxima (apoastre) és de $9 \text{ Mm}$. Determina l'equació de l'òrbita i la seva excentricitat, assumint que el centre de l'el·lipse és a l'origen i l'eix focal coincideix amb l'eix d'abscisses.
La secció transversal d'una torre de refrigeració nuclear té forma de hipèrbola. La part més estreta de la torre fa $40 \text{ m}$ d'amplada i es troba a $50 \text{ m}$…
La secció transversal d'una torre de refrigeració nuclear té forma de hipèrbola. La part més estreta de la torre fa $40 \text{ m}$ d'amplada i es troba a $50 \text{ m}$ d'altura sobre el terra. Si la base de la torre té una amplada de $80 \text{ m}$, troba l'equació de la hipèrbola assumint que el seu centre coincideix amb el centre de la part més estreta.
El cable principal d'un pont penjant adopta forma parabòlica. Les dues torres que el sostenen estan separades $120 \text{ m}$ i tenen una altura de $40 \text{ m}$ sobre…
El cable principal d'un pont penjant adopta forma parabòlica. Les dues torres que el sostenen estan separades $120 \text{ m}$ i tenen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tauler del pont. El punt més baix del cable es troba a $10 \text{ m}$ sobre el tauler. Determina l'equació de la paràbola i calcula l'altura del cable a $30 \text{ m}$ del centre del pont.
Còniques i rectes: talls i tangents
Per trobar els punts de tall entre una recta i una cònica, substitueixes la recta (aïllada) a l'equació de la cònica: queda una equació de segon grau el discriminant de la qual decideix si hi ha $2$, $1$ o $0$ solucions.
Un raig làser incideix sobre un mirall el·líptic la forma del qual ve donada per l'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punt d'incidència té abscissa $x = 3$…
Un raig làser incideix sobre un mirall el·líptic la forma del qual ve donada per l'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punt d'incidència té abscissa $x = 3$ i ordenada positiva. Troba l'equació de la recta tangent al mirall en aquest punt.
Calcula els punts d'intersecció entre la circumferència $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ i la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gràficament la situació mostrant ambdós…
Calcula els punts d'intersecció entre la circumferència $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ i la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gràficament la situació mostrant ambdós llocs geomètrics i els punts de tall.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Troba el lloc geomètric dels punts del pla $P(x, y)$ tals que el producte dels pendents de les rectes que els uneixen amb els punts fixos $A(-4, 0)$ i $B(4, 0)$ és igual…
Troba el lloc geomètric dels punts del pla $P(x, y)$ tals que el producte dels pendents de les rectes que els uneixen amb els punts fixos $A(-4, 0)$ i $B(4, 0)$ és igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cònica resultant, calcula la seva excentricitat i representa-la gràficament.