Conceptes previs

Es llança un dau de $8$ cares amb forma d'octàedre regular, numerades de l'$1$ a l'$8$. Escriu l'espai mostral $E$ associat a aquest experiment aleatori i determina els elements que componen els successos següents:

• $A =$ "Obtenir un nombre primer".

• $B =$ "Obtenir un nombre més gran que $5$".

• $C = A \cap B$.

Es llancen simultàniament $3$ monedes equilibrades (no trucades). Escriu l'espai mostral complet $E$ fent servir la notació $C$ per a cara i $X$ per a creu. A continuació, calcula la probabilitat d'obtenir exactament dues cares.

En un institut tecnològic de $150$ alumnes, s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús de llenguatges de programació. Els resultats mostren que $85$ alumnes programen en Python ($P$), $60$ programen en Java ($J$) i $25$ programen en tots dos llenguatges.

Si es selecciona un alumne a l'atzar d'aquest institut, troba les probabilitats següents:

1. a) Que programi en almenys un dels dos llenguatges.
2. b) Que no programi en cap d'aquests dos llenguatges.
3. c) Que programi en Python, però no en Java.

En un estudi de meteorologia, la probabilitat que plogui dissabte és $P(S)$ i la que plogui diumenge és $P(D)$. Sabent que la probabilitat que plogui com a mínim un dels dos dies del cap de setmana és $P(S \cup D) = 0,85$, utilitza les lleis de De Morgan o les propietats del succés contrari per calcular la probabilitat que no plogui cap dia del cap de setmana, és a dir, $P(\overline{S} \cap \overline{D})$.

Es realitza l'experiment aleatori de llançar un dau cúbic perfecte numerat de l'$1$ a l'$6$. Considera els successos $A =$ "Obtenir un nombre parell" i $B =$ "Obtenir un nombre primer més gran que $2$".

Escriu els elements de cada succés i determina, justificant la teva resposta, si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.

En un estudi de toxicologia ambiental en un riu, es monitoritzen tres contaminants. Siguin $A$, $B$ i $C$ els successos de trobar nivells perillosos del contaminant respectiu. Es sap que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ i $P(C) = \frac{1}{4}$.

A més, es sap que els contaminants $A$ i $B$ mai apareixen junts en nivells perillosos (són successos incompatibles), i que sempre que es detecta el contaminant $C$, també es detecta el contaminant $B$ (és a dir, $C$ és un subconjunt de $B$, $C \subset B$).

Calcula la probabilitat de no trobar ni el contaminant $A$ ni el contaminant $B$, és a dir, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$, i la probabilitat de trobar almenys un dels tres contaminants, $P(A \cup B \cup C)$.

En una plataforma d'entreteniment digital amb $500$ subscriptors, s'analitzen les preferències per tres gèneres: Acció ($A$), Comèdia ($C$) i Drama ($D$). Les dades revelen que:

• $220$ veuen Acció, $180$ veuen Comèdia, $150$ veuen Drama.

• $70$ veuen Acció i Comèdia, $50$ veuen Acció i Drama, $40$ veuen Comèdia i Drama.

• $15$ veuen els tres gèneres.

Si es tria un subscriptor a l'atzar, troba la probabilitat que:

1. a) Vegi exclusivament pel·lícules d'Acció.
2. b) Vegi exactament un sol gènere dels tres.
3. c) No vegi cap d'aquests tres gèneres.