Creixement i extrems amb la derivada
Fins ara, per saber on creix o decreix una funció calia mirar-ne la gràfica. Amb la derivada ja no cal dibuixar res: el signe de $f'(x)$ diu, punt a punt, si $f$ puja o baixa, i els punts on $f'$ s'anul·la són els candidats a màxim o mínim. Aquest procediment és la base de tot el que ve després: representar gràfiques i resoldre problemes d'optimització.
El signe de la derivada marca la monotonia
Determina els intervals de creixement i de decreixement de la funció $f(x) = x^3 - 3x$ estudiant el signe de la seva derivada.
Determina els intervals de creixement i de decreixement de la funció $f(x) = x^3 - 3x$ estudiant el signe de la seva derivada.
Determina els intervals de monotonia de la funció $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.
Determina els intervals de monotonia de la funció $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.
La figura mostra la gràfica de la derivada $f'$ d'una funció $f$, que talla l'eix d'abscisses a $x = -1$ i a $x = 3$. Observant el signe de $f'$ en la figura, indica els…
La figura mostra la gràfica de la derivada $f'$ d'una funció $f$, que talla l'eix d'abscisses a $x = -1$ i a $x = 3$. Observant el signe de $f'$ en la figura, indica els intervals de creixement i de decreixement de $f$ i en quins punts té extrems relatius.
Punts singulars: on cercar els extrems
Per classificar un punt singular $x_0$ hi ha dos mètodes equivalents:
Troba l'extrem relatiu de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilitzant la derivada, i raona si es tracta d'un màxim o d'un mínim.
Troba l'extrem relatiu de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilitzant la derivada, i raona si es tracta d'un màxim o d'un mínim.
Sigui la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$. a) Calcula la seva derivada i troba els seus punts singulars. b) Determina els intervals de creixement i de decreixement.…
Sigui la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.
- a) Calcula la seva derivada i troba els seus punts singulars.
- b) Determina els intervals de creixement i de decreixement.
- c) Classifica cada punt singular com a màxim o mínim relatiu i indica el valor de la funció en aquests punts.
La funció $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ té un extrem relatiu en el punt $(1, -2)$. a) Planteja les dues condicions que han de complir $a$ i $b$ i calcula els seus valors. b)…
La funció $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ té un extrem relatiu en el punt $(1, -2)$.
- a) Planteja les dues condicions que han de complir $a$ i $b$ i calcula els seus valors.
- b) Amb aquests valors, localitza l'altre extrem relatiu de la funció i classifica'ls tots dos.
Extrems absoluts en un interval tancat
Calcula els punts singulars de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 1$, és a dir, els punts en què la seva derivada s'anul·la.
Calcula els punts singulars de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 1$, és a dir, els punts en què la seva derivada s'anul·la.
Un petit taller fabrica $x$ bicicletes al mes i el cost mitjà per bicicleta, en euros, ve donat per $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, amb $x > 0$. Troba el nombre de…
Un petit taller fabrica $x$ bicicletes al mes i el cost mitjà per bicicleta, en euros, ve donat per $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, amb $x > 0$. Troba el nombre de bicicletes que fa mínim el cost mitjà i el valor d'aquest cost mínim, comprovant amb el signe de la derivada que es tracta efectivament d'un mínim.
Sigui $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en l'interval tancat $[-2, 3]$. a) Localitza els seus punts singulars dins de l'interval. b) Calcula el valor de $f$ en els punts…
Sigui $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en l'interval tancat $[-2, 3]$.
- a) Localitza els seus punts singulars dins de l'interval.
- b) Calcula el valor de $f$ en els punts singulars i en els extrems de l'interval.
- c) Determina el màxim i el mínim absoluts de $f$ a $[-2, 3]$ i raona per què no n'hi ha prou amb mirar els punts singulars.