A 4t d'ESO ja vas estendre el sinus i el cosinus més enllà del triangle rectangle, fent servir una circumferència de radi $1$. A Batxillerat aquesta idea es formalitza amb radians i s'utilitza constantment per calcular valors exactes, resoldre triangles i modelar fenòmens que giren o es repeteixen. Repassa la idea clau i afegeix-hi les eines que et falten: els angles notables i el maneig fi del signe.
En un triangle rectangle amb un angle agut $\alpha$, el sinus és el quocient entre el catet oposat i la hipotenusa, i el cosinus entre el catet contigu i la hipotenusa. Si es col·loca aquest triangle amb el vèrtex de l'angle a l'origen i la hipotenusa com a radi d'una circumferència de radi $1$, el sinus i el cosinus són, directament, les coordenades del punt on el costat de l'angle talla la circumferència.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula el valor exacte del sinus, cosinus i tangent de l'angle més petit d'un triangle rectangle sabent que els seus catets mesuren $5$ cm i $12$ cm.
Calcula el valor exacte del sinus, cosinus i tangent de l'angle més petit d'un triangle rectangle sabent que els seus catets mesuren $5$ cm i $12$ cm.
Hi ha tres angles els sinus, cosinus i tangents dels quals es calculen exactament a partir de dos triangles molt concrets: el triangle rectangle isòsceles (per a $45º$) i la meitat d'un triangle equilàter (per a $30º$ i $60º$). Per això els seus valors són fraccions amb arrels, no decimals arrodonits.
Practica★☆☆Sense començar
Transforma a radians els angles de $135^\circ$ i $330^\circ$, i expressa en graus sexagesimals els angles de $\frac{5\pi}{6}$ rad i $\frac{7\pi}{4}$ rad.
Transforma a radians els angles de $135^\circ$ i $330^\circ$, i expressa en graus sexagesimals els angles de $\frac{5\pi}{6}$ rad i $\frac{7\pi}{4}$ rad.
La identitat fonamental i el signe segons el quadrant
Com que $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$ està sempre a distància $1$ de l'origen (el radi de la circumferència goniomètrica), Pitàgores dona directament la relació més usada de tota la trigonometria. Però en aïllar una raó amb una arrel quadrada, el signe no el decideix l'arrel: el decideix el quadrant en què es trobi l'angle.
Practica★☆☆Sense començar
Sabent que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle agut, troba el valor exacte de $\sin \alpha$ i $\tan \alpha$ utilitzant les identitats trigonomètriques…
Sabent que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle agut, troba el valor exacte de $\sin \alpha$ i $\tan \alpha$ utilitzant les identitats trigonomètriques fonamentals.
Per trobar el signe o el valor de les raons d'un angle gran, primer es redueix a $[0º,360º)$ restant voltes completes, i després se'n localitza el quadrant.
Practica★☆☆Sense començar
Troba l'angle equivalent en la primera volta (comprès entre $0^\circ$ i $360^\circ$) per a l'angle de $1950^\circ$ i determina el signe de la seva secant i de la seva…
Troba l'angle equivalent en la primera volta (comprès entre $0^\circ$ i $360^\circ$) per a l'angle de $1950^\circ$ i determina el signe de la seva secant i de la seva cotangent.
Aplicacions: pendents, elevacions i simplificació d'expressions
Les raons trigonomètriques descriuen qualsevol inclinació: l'altura d'un edifici a partir de la seva ombra, el pendent d'un panell solar, o una expressió algebraica que es redueix fent servir la identitat fonamental.
Practica★★☆Sense començar
Un edifici projecta una ombra de $24$ metres quan l'angle d'elevació del sol sobre l'horitzó és de $53^\circ$. Escriu l'expressió trigonomètrica per calcular l'altura de…
Un edifici projecta una ombra de $24$ metres quan l'angle d'elevació del sol sobre l'horitzó és de $53^\circ$. Escriu l'expressió trigonomètrica per calcular l'altura de l'edifici i determina el seu valor. Si l'angle d'elevació es redueix a la meitat, la longitud de l'ombra es duplica? Justifica la teva resposta basant-te en la no-linealitat de la raó tangent.
Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica utilitzant les identitats fonamentals, expressant el resultat en funció d'una única raó trigonomètrica:…
Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica utilitzant les identitats fonamentals, expressant el resultat en funció d'una única raó trigonomètrica:
Demostra la següent identitat trigonomètrica, indicant els passos algebraics i les relacions fonamentals utilitzades. Assumeix que $\alpha$ és un angle per al qual totes…
Demostra la següent identitat trigonomètrica, indicant els passos algebraics i les relacions fonamentals utilitzades. Assumeix que $\alpha$ és un angle per al qual totes les raons estan definides: