Successió decreixent
Un metall es refreda, un cotxe es devalua, una pilota rebota cada cop menys. En aquests processos cada terme és menor que l'anterior. Igual que amb el creixement, aquí ho demostraràs algebraicament, no només ho observaràs.
El criteri de la diferència
Demostra, analitzant el signe de la diferència $a_{n+1} - a_n$, que la successió polinòmica de terme general $a_n = -4n + 7$ és estrictament decreixent per a tot nombre…
Demostra, analitzant el signe de la diferència $a_{n+1} - a_n$, que la successió polinòmica de terme general $a_n = -4n + 7$ és estrictament decreixent per a tot nombre natural $n$.
Indica si l'afirmació següent és vertadera o falsa i justifica la teva resposta amb un contraexemple numèric: "Tota successió els termes de la qual són tots negatius és…
Indica si l'afirmació següent és vertadera o falsa i justifica la teva resposta amb un contraexemple numèric: "Tota successió els termes de la qual són tots negatius és obligatòriament una successió decreixent".
Demostra que la successió de terme general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ és estrictament decreixent. Per fer-ho, planteja la desigualtat $a_{n+1} < a_n$, opera…
Demostra que la successió de terme general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ és estrictament decreixent. Per fer-ho, planteja la desigualtat $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicament i arriba a una afirmació que sigui certa per a tot $n \ge 1$.
El criteri del quocient
Utilitza el criteri del quocient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per demostrar que la successió geomètrica de termes positius $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ és estrictament…
Utilitza el criteri del quocient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ per demostrar que la successió geomètrica de termes positius $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ és estrictament decreixent.
Considera la successió que combina una potència i un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula els seus primers sis termes i observa el seu comportament. Utilitzant el…
Considera la successió que combina una potència i un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula els seus primers sis termes i observa el seu comportament. Utilitzant el criteri del quocient, determina analíticament a partir de quin valor exacte de $n$ la successió es torna estrictament decreixent.
Decreixent a partir d'un terme
Algunes successions no són decreixents des del principi: pugen un temps i després comencen a baixar per sempre. Cal localitzar a partir de quina posició canvia el comportament.
Calcula els cinc primers termes de la successió quadràtica $c_n = -n^2 + 6n$. És una successió decreixent des del primer terme? Determina a partir de quin valor de $n$…
Calcula els cinc primers termes de la successió quadràtica $c_n = -n^2 + 6n$. És una successió decreixent des del primer terme? Determina a partir de quin valor de $n$ la successió comença a ser estrictament decreixent.
Estudia la monotonia de la successió $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. És una successió decreixent? Defineix una nova successió $e_n = |d_n|$ prenent el valor absolut de cada…
Estudia la monotonia de la successió $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. És una successió decreixent? Defineix una nova successió $e_n = |d_n|$ prenent el valor absolut de cada terme i demostra pas a pas que $(e_n)$ sí que és una successió estrictament decreixent.
Successions amb radicals i fitació
Demostra que la successió construïda mitjançant radicals $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ és estrictament decreixent. Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans…
Demostra que la successió construïda mitjançant radicals $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ és estrictament decreixent. Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans d'analitzar si $c_{n+1} < c_n$.
Considera la successió definida per $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demostra que està acotada inferiorment per $1$ i que és estrictament decreixent. Finalment, determina a…
Considera la successió definida per $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demostra que està acotada inferiorment per $1$ i que és estrictament decreixent. Finalment, determina a partir de quin valor de $n$ la diferència entre dos termes consecutius és menor en valor absolut que $10^{-4}$.
Torna al principi: Si una pilota rebota perdent un $20\,\%$ d'alçada a cada bot ($h_n = h_0 \cdot 0{,}8^n$), la successió és estrictament decreixent perquè $\frac{h_{n+1}}{h_n} = 0{,}8 < 1$ amb termes positius.