Signe de la funció, punts de tall i asímptotes de la funció racional
Abans de dibuixar qualsevol funció racional val la pena fer-se tres preguntes: on talla els eixos?, on és positiva i on negativa?, cap a on «s'escapa» quan $x$ s'apropa als valors prohibits o a l'infinit? Respondre a aquestes tres preguntes —sense necessitat de calculadora gràfica— és l'objectiu d'aquest apartat.
Punts de tall amb els eixos
Calcula els punts de tall amb els eixos coordenats de la funció $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$.
Calcula els punts de tall amb els eixos coordenats de la funció $f(x) = \frac{2x-6}{x+4}$.
Signe de la funció racional
El signe de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ només pot canviar en els punts on $P$ o $Q$ s'anul·len (els «punts crítics»). Entre dos punts crítics consecutius, el signe és constant.
Determina els intervals en què la funció $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ pren valors estrictament positius.
Determina els intervals en què la funció $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ pren valors estrictament positius.
Estudia analíticament el signe de la funció $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ en tot el seu domini.
Estudia analíticament el signe de la funció $f(x) = \frac{-2x}{x^2-4}$ en tot el seu domini.
Asímptotes verticals
Troba el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals de la funció $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.
Troba el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals de la funció $f(x) = \frac{x+7}{x^2-9}$.
Asímptota horitzontal o obliqua segons els graus
El comportament a l'infinit de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ depèn de comparar el grau de $P$ amb el de $Q$, igual que en els límits de successions racionals.
Troba les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal de la funció racional $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.
Troba les equacions de les asímptotes vertical i horitzontal de la funció racional $f(x) = \frac{5x+1}{2x-4}$.
Calcula l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.
Calcula l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x-1}$.
Donada la funció $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$, determina l'equació de la seva asímptota horitzontal avaluant els límits pertonents quan $x \to +\infty$ i…
Donada la funció $f(x) = \frac{3x^2-2}{x^2+1}$, determina l'equació de la seva asímptota horitzontal avaluant els límits pertonents quan $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$.
Lectura completa d'una funció racional
Ajuntant-ho tot: punts de tall, signe i asímptotes permeten descriure la forma de la gràfica sense necessitat de tabular molts punts.
Determina els valors numèrics dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la funció $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ té una asímptota vertical en la recta $x = 1$ i una asímptota…
Determina els valors numèrics dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la funció $f(x) = \frac{ax+3}{bx-2}$ té una asímptota vertical en la recta $x = 1$ i una asímptota horitzontal en la recta $y = 4$.
Troba les asímptotes i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Para especial atenció a les possibles discontinuïtats evitables en…
Troba les asímptotes i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \frac{x^3-8}{x^2-4}$. Para especial atenció a les possibles discontinuïtats evitables en simplificar l'expressió.
Discuteix, en funció dels valors del paràmetre real $k$, el nombre i el tipus d'asímptotes verticals que presenta la funció $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Determina…
Discuteix, en funció dels valors del paràmetre real $k$, el nombre i el tipus d'asímptotes verticals que presenta la funció $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-k}$. Determina també per a quin valor exacte de $k$ la funció presenta una discontinuïtat evitable.