BATX1 tecno · Matemàtiques
Nombres reals · Successions
Operacions amb successions. Indeterminacions
Àlgebra de límits El catàleg d'indeterminacions Resoldre $\frac{\infty}{\infty}$ amb fraccions algebraiques Resoldre $\infty - \infty$: diferència de fraccions i radicals La indeterminació $1^{\infty}$: un avenç Resum
Ja saps calcular el límit d'una successió aïllada. Ara toca combinar-ne diverses: sumar-les, multiplicar-les, dividir-les. La majoria de les vegades el límit es comporta com esperes, però hi ha combinacions on el resultat «desapareix» en una indeterminació, i cal una tècnica per destapar-lo.
Àlgebra de límits
Si $\displaystyle\lim a_n = A$ i $\displaystyle\lim b_n = B$ (tots dos nombres finits):
$$\lim (a_n+b_n)=A+B \qquad \lim(a_n\cdot b_n)=A\cdot B \qquad \lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}\ (B\neq0)$$
Per què? Si els termes de $a_n$ es concentren al voltant de $A$ i els de $b_n$ al voltant de $B$, la distància entre les seves combinacions operades i $A+B$ o $A \cdot B$ es redueix arbitràriament a mesura que avancem en la successió.
Diagrama conceptual que mostra com el límit d'una combinació de successions convergents equival a operar directament amb els seus límits finits.
aₙ → A
bₙ → B
+ · ÷
el límit de la combinació
és la combinació dels límits
$a_n\to2$ (quocient de coeficients principals) i $b_n\to+\infty$.
$\dfrac{a_n}{b_n} \to \dfrac{2}{+\infty} = 0$: un nombre finit dividit per alguna cosa que creix sense límit es fa tan petit com es vulgui.
$a_n\cdot b_n \to 2\cdot(+\infty) = +\infty$: un nombre positiu per alguna cosa que creix sense límit, també creix sense límit.
Pas següent (1/3)
Expressions com $\frac{\infty}{\infty}$ no valen $1$ ni $0 \cdot \infty$ val $0$. L'infinit expressa una tendència sense límit i no una quantitat fixa que es pugui simplificar algebraicament.
Si sabem que $a_n \to +\infty$ i $b_n \to +\infty$, podem concloure amb la regla del quocient que $\lim \frac{a_n}{b_n} = 1$?
Mostra la resposta No, perquè la regla del quocient exigeix que els dos límits siguin nombres finits. Com que tots dos tendeixen a infinit es produeix la indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$, el valor final de la qual dependrà del ritme de creixement de cada successió.
★☆☆ Sense començar
Calcula el límit de la successió $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$. Calcula el límit de la successió $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Donades les successions $a_n = \frac{2n}{n+1}$ i $b_n = 3n^2$, calcula els límits $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ i $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$. Donades les successions $a_n = \frac{2n}{n+1}$ i $b_n = 3n^2$, calcula els límits $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ i $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Resoldre
El catàleg d'indeterminacions
Quan intervenen infinits o zeros, algunes combinacions no tenen un resultat automàtic: cal operar abans de poder aplicar l'àlgebra de límits.
$$\frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^{\infty} \qquad \frac{0}{0} \qquad \infty^0 \qquad 0^0$$
Cap no es resol «substituint»: cal transformar l'expressió fins que la indeterminació desaparegui.
Dues successions que creixen a infinit poden restar i donar qualsevol resultat: $0$, un nombre finit, o fins i tot infinit una altra vegada. Tot depèn de com de ràpid creix cadascuna. Mai no es pot simplificar a ull.
Esquema conceptual que classifica les operacions amb límits infinits en resultats determinats directes i indeterminacions que requereixen resolució.
∞/∞
∞−∞
0·∞
1^∞
cap no es resol substituint:
cal transformar l'expressió
La Lucía afirma que $\infty + \infty$ i $\frac{k}{\infty}$ són indeterminacions igual que $\frac{\infty}{\infty}$. Té raó?
Mostra la resposta No, perquè $\infty + \infty = +\infty$ i $\frac{k}{\infty} = 0$ són operacions perfectament determinades; una indeterminació només passa quan el resultat a priori no es pot conèixer sense transformar l'expressió, com en $\frac{\infty}{\infty}$.
★☆☆ Sense començar
Determina el valor del límit de la successió $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$. Determina el valor del límit de la successió $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Troba el límit de la successió $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$. Troba el límit de la successió $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Resoldre
Resoldre $\frac{\infty}{\infty}$ amb fraccions algebraiques
Quan numerador i denominador són sumes o restes de potències, convé desenvolupar i simplificar abans d'aplicar el criteri de graus.
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu.
En el límit $\lim \dfrac{(3n+1)^2-9n^2}{2n-5}$, quin és el grau efectiu del numerador?
Mostra la resposta Grau 1, perquè en desenvolupar el binomi $(3n+1)^2 = 9n^2+6n+1$, els termes quadràtics $9n^2$ i $-9n^2$ es cancel·len mútuament.
★★☆ Sense començar
Un analista financer estudia el rendiment d'un fons d'inversió la taxa de retorn del qual en el mes $n$ segueix la successió… Un analista financer estudia el rendiment d'un fons d'inversió la taxa de retorn del qual en el mes $n$ segueix la successió $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendiment límit resolent la indeterminació corresponent.
Resoldre
★★★ Sense començar
Resol el límit següent que combina la suma dels $n$ primers termes d'una progressió aritmètica i una indeterminació polinòmica:… Resol el límit següent que combina la suma dels $n$ primers termes d'una progressió aritmètica i una indeterminació polinòmica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
Resoldre
Resoldre $\infty - \infty$: diferència de fraccions i radicals
Amb fraccions algebraiques, se sumen o es resten com fraccions normals i se simplifica. Amb radicals, es multiplica i es divideix pel conjugat, igual que a l'apartat anterior.
Esquema que bifurca la resolució de la indeterminació infinit menys infinit en denominador comú per a fraccions o conjugat per a radicals.
∞ − ∞
denominador comú (fraccions)
conjugat (radicals)
la indeterminació desapareix
i queda un límit calculable
Restar dues successions divergents no dona zero de manera automàtica, perquè una pot créixer a més velocitat que l'altra (com passa en $n^2 - n \to +\infty$). Sempre has de transformar l'expressió per desfer la indeterminació.
Quina tècnica usaries per resoldre $\lim(\sqrt{n^2+1}-n)$ davant de $\lim\left(\frac{n^2}{n+1}-n\right)$?
Mostra la resposta En el primer es multiplica i es divideix pel conjugat perquè hi ha una resta amb arrels; en el segon s'opera reduint a denominador comú perquè es tracta de fraccions algebraiques.
★☆☆ Sense començar
Resol el límit següent amb radicals multiplicant i dividint per l'expressió conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$ Resol el límit següent amb radicals multiplicant i dividint per l'expressió conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resoldre
★★☆ Sense començar
La desviació en mil·límetres d'un braç robòtic en la seva iteració $n$ ve donada per la successió $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula l'error de desviació límit quan… La desviació en mil·límetres d'un braç robòtic en la seva iteració $n$ ve donada per la successió $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula l'error de desviació límit quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit.
Resoldre
★★★ Sense començar
Resol la indeterminació $\infty - \infty$ generada per la diferència de dues arrels quadrades de polinomis quadràtics:… Resol la indeterminació $\infty - \infty$ generada per la diferència de dues arrels quadrades de polinomis quadràtics:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
Resoldre
La indeterminació $1^{\infty}$: un avenç
Quan la base d'una potència tendeix a $1$ i l'exponent tendeix a infinit, el resultat no és automàticament $1$: depèn de la «velocitat» amb què la base s'acosta a $1$. Aquesta indeterminació apareix constantment amb interessos compostos i poblacions, i té la seva pròpia tècnica, que veuràs a fons (juntament amb el nombre $e$) a l'apartat següent.
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu. ★☆☆ Sense començar
Calcula el límit de la successió de tipus exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$. Calcula el límit de la successió de tipus exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Identifica la indeterminació i calcula el límit de la successió $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$. Identifica la indeterminació i calcula el límit de la successió $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Resoldre
Resum
Si $a_n\to A$ i $b_n\to B$ (finits), la suma, el producte i el quocient de límits es comporten com esperes.
Indeterminacions típiques: $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $1^{\infty}$, $\frac{0}{0}$. Mai no es resolen substituint directament.
$\frac{\infty}{\infty}$ amb polinomis: desenvolupa i compara graus i coeficients principals.
$\infty-\infty$: posa denominador comú (fraccions) o multiplica pel conjugat (radicals).
$1^{\infty}$ necessita una tècnica pròpia, lligada al nombre $e$: la veus a l'apartat següent.
← Anterior Límit d'una successióSegüent → Successions exponencials. El nombre e.