La regla de Laplace, $P(A) = \frac{\text{favorables}}{\text{posibles}}$, és senzilla d'enunciar però a vegades molt difícil d'aplicar: quantes mans de cartes hi ha?, quantes col·locacions en una fila? Comptar a mà un per un és impossible tan bon punt el nombre creix. Aquest apartat recupera el factorial i els nombres combinatoris que ja vas fer servir amb el binomi de Newton i els posa a treballar dins de Laplace. L'apartat de Combinatòria que ve després els donarà nom formal (permutacions, variacions); aquí els fem servir ja com a eina.
Un restaurant ofereix $4$ primers plats, $3$ segons i $2$ postres. Si un client tria el seu menú a l'atzar, quina és la probabilitat que triï exactament l'amanida de…
Un restaurant ofereix $4$ primers plats, $3$ segons i $2$ postres. Si un client tria el seu menú a l'atzar, quina és la probabilitat que triï exactament l'amanida de primer, el salmó de segon i el pastís de postres?
Quan es trien i s'ordenen diversos elements sense repetir-los (un podi, un ordre d'arribada, uns càrrecs diferents), el nombre de casos possibles és un producte de factors decreixents, relacionat amb el factorial que ja coneixes.
Practica★☆☆Sense començar
En una cursa de $100$ metres llisos participen $6$ atletes. Si tots tenen la mateixa probabilitat de guanyar i no hi ha empats, quina és la probabilitat que l'ordre…
En una cursa de $100$ metres llisos participen $6$ atletes. Si tots tenen la mateixa probabilitat de guanyar i no hi ha empats, quina és la probabilitat que l'ordre d'arribada sigui exactament A, B, C, D, E, F?
En un club d'escacs de $10$ membres es triarà a l'atzar un president, un secretari i un tresorer. Quina és la probabilitat que Ana sigui triada presidenta, Carlos…
En un club d'escacs de $10$ membres es triarà a l'atzar un president, un secretari i un tresorer. Quina és la probabilitat que Ana sigui triada presidenta, Carlos secretari i Elena tresorera?
Quan es trien diversos elements sense que importi l'ordre (un comitè, una mostra, una mà de cartes), el nombre de casos es calcula amb el nombre combinatori $\binom{n}{k}$ que ja vas fer servir en el binomi de Newton.
Practica★☆☆Sense començar
D'un grup de $8$ estudiants es trien $3$ a l'atzar per formar una comissió representativa. Quina és la probabilitat que els triats siguin exactament els $3$ estudiants…
D'un grup de $8$ estudiants es trien $3$ a l'atzar per formar una comissió representativa. Quina és la probabilitat que els triats siguin exactament els $3$ estudiants de més edat del grup?
En una empresa tecnològica treballen $7$ enginyers i $5$ economistes. S'ha de formar un equip de projecte de $4$ persones triat a l'atzar. Quina és la probabilitat que…
En una empresa tecnològica treballen $7$ enginyers i $5$ economistes. S'ha de formar un equip de projecte de $4$ persones triat a l'atzar. Quina és la probabilitat que l'equip estigui format per exactament $2$ enginyers i $2$ economistes?
Un lot de $20$ microxips conté $4$ de defectuosos. Es selecciona una mostra aleatòria de $3$ microxips per a la seva inspecció. Quina és la probabilitat que a la mostra…
Un lot de $20$ microxips conté $4$ de defectuosos. Es selecciona una mostra aleatòria de $3$ microxips per a la seva inspecció. Quina és la probabilitat que a la mostra hi hagi almenys un microxip defectuós?
Alguns enunciats exigeixen que certs elements quedin junts, o que es comptin anagrames amb lletres repetides: en tots dos casos convé agrupar o dividir per les repeticions abans d'aplicar Laplace.
Practica★★☆Sense començar
En una estanteria es col·locaran a l'atzar $5$ llibres de matemàtiques i $3$ de física. Quina és la probabilitat que tots els llibres de física quedin col·locats junts?
En una estanteria es col·locaran a l'atzar $5$ llibres de matemàtiques i $3$ de física. Quina és la probabilitat que tots els llibres de física quedin col·locats junts?
Es formen totes les paraules possibles reordenant les lletres de la paraula "BANANA". Quina és la probabilitat que les tres lletres "A" apareguin juntes consecutivament?
Es formen totes les paraules possibles reordenant les lletres de la paraula "BANANA". Quina és la probabilitat que les tres lletres "A" apareguin juntes consecutivament?
Torna al principi: Per comptar les mans de 5 cartes d'una baralla espanyola de 40 l'ordre no importa i hi ha $\binom{40}{5} = 658\,008$ mans possibles, mentre que en una fila de $n$ persones l'ordre sí que importa i hi ha $n!$ col·locacions diferents.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat