Regla de Ruffini
Dividir un polinomi de grau alt per $x-a$ amb l'algorisme general funciona, però és llarg i és fàcil equivocar-se. La regla de Ruffini fa exactament el mateix treballant només amb nombres: una fila de coeficients, un valor $a$ i una taula de tres files que dona el quocient i el residu en segons.
Mecànica de la regla de Ruffini
S'escriuen els coeficients de $P(x)$ en fila (amb $0$ als graus que faltin) i el valor $a$ a part. El primer coeficient baixa igual; cada resultat següent s'obté multiplicant l'últim nombre de la fila de baix per $a$ i sumant el coeficient de la seva columna.
Divideix el polinomi $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomi $x - 2$ utilitzant la regla de Ruffini i indica el quocient i el residu resultants.
Divideix el polinomi $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomi $x - 2$ utilitzant la regla de Ruffini i indica el quocient i el residu resultants.
Aplica la regla de Ruffini per fer la divisió de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escriu clarament el polinomi quocient i el valor del residu.
Aplica la regla de Ruffini per fer la divisió de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escriu clarament el polinomi quocient i el valor del residu.
Ruffini també avalua i confirma arrels
L'últim nombre de la fila de Ruffini és el residu, i el residu de dividir entre $(x-a)$ és, pel teorema del residu, $P(a)$. Així que Ruffini serveix per calcular el valor numèric d'un polinomi sense substituir terme a terme, i per comprovar si un nombre és arrel: si el residu surt $0$, ho és.
Comprova, utilitzant la regla de Ruffini, si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprova, utilitzant la regla de Ruffini, si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ per a $x = -1$ aplicant el teorema del residu mitjançant la regla de Ruffini.
Calcula el valor numèric del polinomi $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ per a $x = -1$ aplicant el teorema del residu mitjançant la regla de Ruffini.
Determina, sense fer la divisió completa i utilitzant el teorema del residu o la regla de Ruffini, si el binomi $x + 1$ és un factor del polinomi…
Determina, sense fer la divisió completa i utilitzant el teorema del residu o la regla de Ruffini, si el binomi $x + 1$ és un factor del polinomi $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Factoritzar amb una arrel coneguda
Quan ja es coneix una arrel $a$, Ruffini dona directament el quocient: un factor de grau una unitat menys. Repetint el procés amb el quocient (si apareix una altra arrel evident) s'arriba a la factorització completa.
Factoritza el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabent prèviament que $x = 1$ és una de les seves arrels.
Factoritza el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabent prèviament que $x = 1$ és una de les seves arrels.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ trobant totes les seves arrels.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ trobant totes les seves arrels.
Paràmetres desconeguts a partir d'una condició de Ruffini
Quan el polinomi té un coeficient sense determinar, una condició de divisibilitat («és divisible per $x-a$», «el residu en dividir per $x-a$ és $c$») es tradueix en una equació amb Ruffini: l'últim nombre de la fila ha de valer el que digui la condició.
Determina el valor de la constant $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sigui divisible exactament per $x - 1$.
Determina el valor de la constant $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sigui divisible exactament per $x - 1$.
Determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sigui divisible exactament per $x - 2$ i, al mateix temps, doni un residu…
Determina els valors dels paràmetres $m$ i $n$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sigui divisible exactament per $x - 2$ i, al mateix temps, doni un residu de $4$ en dividir-lo entre $x + 1$.
Troba els valors de $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sigui divisible per $(x - 2)^2$.
Troba els valors de $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sigui divisible per $(x - 2)^2$.
Ruffini en problemes de modelització
Volums, beneficis i trajectòries s'expressen com a polinomis en què convé trobar factors: un volum que és producte de dimensions, o els instants en què un benefici passa per zero.
El volum d'una caixa amb forma de prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si es sap que l'altura de la caixa és $x - 1$, determina…
El volum d'una caixa amb forma de prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si es sap que l'altura de la caixa és $x - 1$, determina el polinomi que representa l'àrea de la base $A(x)$.
Els beneficis d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen durant els seus primers anys d'activitat mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, on $x$…
Els beneficis d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen durant els seus primers anys d'activitat mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, on $x$ representa el temps en anys. Troba els anys exactes en què el benefici de l'empresa va ser nul (punts d'equilibri).
La posició d'una partícula en moviment rectilini ve donada per l'equació $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, on $t$ és el temps en segons. Determina en quins instants de…
La posició d'una partícula en moviment rectilini ve donada per l'equació $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, on $t$ és el temps en segons. Determina en quins instants de temps la partícula passa per l'origen de coordenades ($s(t) = 0$).
Quan el divisor no és exactament $x-a$
Ruffini està pensat per dividir entre $x-a$, amb coeficient $1$ a la $x$. Per dividir entre $x-\frac12$ no hi ha problema: $a=\frac12$. Però per dividir entre un binomi com $2x-3$, cal treure primer el $2$ com a factor: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$, aplicar Ruffini amb $a=\frac32$, i després dividir el quocient obtingut entre $2$ per compensar.
Divideix el polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomi $x - \frac{1}{2}$ emprant la regla de Ruffini. Expressa el resultat final indicant quocient i residu.
Divideix el polinomi $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomi $x - \frac{1}{2}$ emprant la regla de Ruffini. Expressa el resultat final indicant quocient i residu.
Fes la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomi $2x - 3$ utilitzant la regla de Ruffini. Tingues en compte que has d'adaptar el divisor per…
Fes la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomi $2x - 3$ utilitzant la regla de Ruffini. Tingues en compte que has d'adaptar el divisor per poder aplicar l'algorisme i, posteriorment, ajustar el quocient i el residu obtinguts.
Dissenyar, comprovar i comparar un algorisme
Ruffini també permet avaluar un polinomi. Per a $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, l'esquema de Horner encadena multiplicacions i sumes. Dissenya primer com ho faries amb llapis; després compara el teu procediment amb aquest pseudocodi:
entrada: coeficientes [a_n, ..., a_0] y valor t
v ← a_n
para cada coeficiente c restante, de mayor a menor grado:
v ← v * t + c
devolver v
Cada fletxa representa la multiplicació i suma següents:
Per a un polinomi de grau n, Horner fa n multiplicacions i n sumes. Si el teu algorisme directe calcula cada potència des de zero per productes repetits i després multiplica pel seu coeficient, usa $n(n+1)/2$ multiplicacions i n sumes. Si reutilitza potències, el recompte canvia: declara sempre quin algorisme compares. En el cúbic anterior, els recomptes genèrics són 3 davant de 6 multiplicacions, sense simplificar termes nuls.
Modifica l'algorisme per avaluar el mateix polinomi en una llista de valors, reiniciant v per a cada valor. Escriu la modificació, executa-la a mà o en un programa i conserva una taula d'entrada, sortida esperada i sortida obtinguda. Comprova també $t=1$: el resultat ha de ser la suma dels coeficients. Explica per què, després de processar-los tots, v representa exactament el polinomi niat $((2t-3)t+0)t+5$.