BATX1 tecno · Matemàtiques
Trigonometria · Trigonometria
Raons trigonomètriques recíproques
Tres raons noves: secant, cosecant i cotangent Valors notables de les raons recíproques Identitats pitagòriques amb les recíproques Signe i existència segons el quadrant Simplificar expressions i demostrar identitats Resum
El sinus, el cosinus i la tangent tenen tres «parelles»: els seus inversos. Apareixen constantment en simplificar expressions i resoldre equacions trigonomètriques, i també en física (per exemple, la longitud d'una rampa que salva una alçada $h$ amb una inclinació $\alpha$ s'expressa amb una cosecant). Són només fraccions invertides, però val la pena dominar-les perquè estalvien passos en la meitat dels exercicis d'aquest bloc.
Tres raons noves: secant, cosecant i cotangent
Cadascuna de les tres raons noves és, per definició, l'invers d'una de les que ja coneixes.
Circumferència goniomètrica amb un angle al primer quadrant i les projeccions del seu cosinus i sinus sobre els eixos cartesians
P(cos α, sen α)
cos α
sen α
$$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha} \qquad \csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha} \qquad \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$
Com que són inversos, existeixen exactament quan el denominador de la raó original no és $0$: $\sec\alpha$ no existeix si $\cos\alpha=0$ (en $90º$ i $270º$); $\csc\alpha$ i $\cot\alpha$ no existeixen si $\sin\alpha=0$ (en $0º$ i $180º$).
$\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}$ és l'invers multiplicatiu del cosinus, una fracció. No té res a veure amb $\arccos\alpha$ (l'angle el cosinus del qual és $\alpha$), que és una operació completament diferent.
És un error molt freqüent associar secant amb sinus i cosecant amb cosinus. Utilitza la regla del «co-»: cada parella porta exactament un «co-», de manera que l'invers del cosinus és la secant ($\sec\alpha = 1/\cos\alpha$) i el del sinus és la cosecant ($\csc\alpha = 1/\sin\alpha$).
★☆☆ Sense començar
Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\csc \alpha$ i $\sec \alpha$. Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\csc \alpha$ i $\sec \alpha$.
Resoldre
Valors notables de les raons recíproques
Com que són inversos directes, els valors notables de secant, cosecant i cotangent surten d'invertir la taula de sinus, cosinus i tangent que ja coneixes.
Triangles rectangles notables corresponents a 30º, 45º i 60º amb els seus catets i hipotenuses per deduir les raons trigonomètriques recíproques
cos α
sec α = 1/cos α
tan α
cot α = 1/tan α
$\alpha$
$30º$
$45º$
$60º$
$\sec\alpha$
$\dfrac{2\sqrt3}{3}$
$\sqrt2$
$2$
$\csc\alpha$
$2$
$\sqrt2$
$\dfrac{2\sqrt3}{3}$
$\cot\alpha$
$\sqrt3$
$1$
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
Per què? Cada valor resulta d'invertir la fracció del sinus, cosinus o tangent corresponent i racionalitzar el denominador si queda una arrel, com passa en $\sec(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
La Lucía afirma que $\sec(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ perquè coincideix amb el valor del cosinus de $30^\circ$.
Mostra la resposta S'equivoca, perquè la secant és l'invers multiplicatiu del cosinus: $\sec(30^\circ) = \dfrac{1}{\cos(30^\circ)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
★☆☆ Sense començar
Determina el valor exacte de $\sec 60^\circ$ i $\cot 45^\circ$ sense utilitzar la calculadora. Determina el valor exacte de $\sec 60^\circ$ i $\cot 45^\circ$ sense utilitzar la calculadora.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Calcula el valor exacte de $\cot \frac{\pi}{6}$ i $\csc \frac{\pi}{4}$. Calcula el valor exacte de $\cot \frac{\pi}{6}$ i $\csc \frac{\pi}{4}$.
Resoldre
Identitats pitagòriques amb les recíproques
La identitat fonamental $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ té dues versions «recíproques» que s'obtenen dividint tota la igualtat entre $\cos^2\alpha$ o entre $\sin^2\alpha$.
Esquema algebraic que mostra la deducció de les identitats de secant i cosecant dividint la identitat fonamental entre cos²α i sen²α
sen²α + cos²α = 1
÷ cos²α → 1 + tan²α = sec²α
÷ sen²α → 1 + cot²α = csc²α
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \qquad\quad 1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha \qquad\quad 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$$
La segona surt de dividir la primera entre $\cos^2\alpha$; la tercera, de dividir-la entre $\sin^2\alpha$. Són les mateixes tres lletres, vistes des d'un altre angle.
$\sec^2\beta = 1+\tan^2\beta = 1+\left(\dfrac43\right)^2 = 1+\dfrac{16}{9}=\dfrac{25}{9}$.
$\sec\beta=\pm\dfrac53$. Com que $\beta$ està al primer quadrant, el cosinus (i per tant la secant) és positiu: $\sec\beta=\dfrac53$.
Pas següent (1/2)
Igual que en aïllar sinus o cosinus amb la identitat fonamental, aïllar $\sec\alpha$ o $\csc\alpha$ deixa una arrel amb doble signe: cal decidir-lo amb el quadrant, no quedar-se automàticament amb el positiu.
La relació pitagòrica només es compleix amb els quadrats: $1+\tan^2\alpha = \sec^2\alpha$. No escriguis mai $1+\tan\alpha = \sec\alpha$, ja que l'arrel quadrada d'una suma no és igual a la suma de les arrels.
Quin valor pren la resta $\sec^2\alpha - \tan^2\alpha$ per a qualsevol angle en què estigui definida?
Mostra la resposta Val sempre $1$. Es dedueix directament de restar $\tan^2\alpha$ als dos membres de la identitat $1+\tan^2\alpha = \sec^2\alpha$.
★☆☆ Sense començar
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ i $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utilitza la relació fonamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcular $\sec \beta$. Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ i $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utilitza la relació fonamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ per calcular $\sec \beta$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Sabent que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numèric exacte de l'expressió $\sec^2 \theta - 1$. Sabent que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numèric exacte de l'expressió $\sec^2 \theta - 1$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Sabent que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ i que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacte de les altres raons trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent,… Sabent que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ i que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacte de les altres raons trigonomètriques (sinus, cosinus, tangent, cosecant i cotangent).
Resoldre
Signe i existència segons el quadrant
Com que $\sec\alpha$ té el mateix signe que $\cos\alpha$, i $\csc\alpha$ i $\cot\alpha$ el mateix signe que $\sin\alpha$ i $\tan\alpha$ respectivament, la taula de signes de les tres raons originals serveix també per a les recíproques, sense aprendre res de nou.
Esquema dels quatre quadrants cartesians amb els signes positiu i negatiu de la secant, cosecant i cotangent en cadascun
sec+ csc+ cot+
sec− csc+ cot−
sec− csc− cot+
sec+ csc− cot−
En Marcos afirma que $\csc(90^\circ)$ no està definida perquè en $90^\circ$ tampoc no existeix la tangent.
Mostra la resposta S'equivoca. La cosecant és $\dfrac{1}{\sin\alpha}$ i només deixa d'existir quan $\sin\alpha = 0$ (en $0^\circ$ i $180^\circ$). Com que $\sin(90^\circ) = 1$, es té $\csc(90^\circ) = \dfrac{1}{1} = 1$.
★☆☆ Sense començar
Un angle $\gamma$ compleix que $\sec \gamma < 0$ i $\csc \gamma > 0$. Raona en quin quadrant de la circumferència goniomètrica es troba l'angle $\gamma$. Un angle $\gamma$ compleix que $\sec \gamma < 0$ i $\csc \gamma > 0$. Raona en quin quadrant de la circumferència goniomètrica es troba l'angle $\gamma$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Si $\cot \alpha = 2$ i $\alpha$ pertany al tercer quadrant, determina el signe i el valor exacte de $\tan \alpha$ i $\csc \alpha$. Si $\cot \alpha = 2$ i $\alpha$ pertany al tercer quadrant, determina el signe i el valor exacte de $\tan \alpha$ i $\csc \alpha$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Sabent que $\csc x = 3$ i que l'angle $x$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de l'expressió $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$. Sabent que $\csc x = 3$ i que l'angle $x$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de l'expressió $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Resoldre
Simplificar expressions i demostrar identitats
Per simplificar expressions amb raons recíproques convé passar-ho tot a sinus i cosinus: sol ser el camí més curt perquè es cancel·lin factors.
Diagrama de flux que il·lustra l'estratègia de passar secants, cosecants i cotangents a sinus i cosinus per simplificar expressions
sec x, csc x, cot x
sen x, cos x
(es cancel·la, se simplifica i, si cal,
es torna a escriure amb recíproques)
Si una identitat amb secants, cosecants o cotangents no avança, substituir-ho tot per $\sin x$ i $\cos x$ i operar amb fraccions sol desbloquejar la demostració, encara que el resultat final es torni a escriure amb les raons recíproques.
Si passes a sinus i cosinus l'expressió $\tan x \cdot \csc x$, quina raó simple obtens en simplificar?
Mostra la resposta Substituint queda $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x}$. El factor $\sin x$ es cancel·la al numerador i al denominador, i queda $\frac{1}{\cos x} = \sec x$.
★☆☆ Sense començar
Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$. Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Simplifica la següent expressió trigonomètrica fins a obtenir una única raó: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$. Simplifica la següent expressió trigonomètrica fins a obtenir una única raó: $\frac{\sec x}{\csc x} \cdot \cot^2 x$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Demostra la següent identitat trigonomètrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$. Demostra la següent identitat trigonomètrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Resoldre
Torna al principi: Una rampa que salva una alçada $h$ amb inclinació $\alpha$ és la hipotenusa d'un triangle rectangle, així que la seva longitud és $L = \frac{h}{\sin\alpha} = h\csc\alpha$. Per exemple, per a $h = 1$ m i $\alpha = 30^\circ$, com que $\csc(30^\circ) = 2$, la rampa fa $L = 2$ m.
Resum
$\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}$, $\csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}$, $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
No existeixen quan s'anul·la el denominador corresponent: $\sec\alpha$ en $90º$ i $270º$; $\csc\alpha$ i $\cot\alpha$ en $0º$ i $180º$.
Identitats pitagòriques: $1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$ i $1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$, derivades de dividir $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
El signe de cada recíproca coincideix amb el de la seva raó original; el quadrant decideix el signe en aïllar una arrel.
Per simplificar o demostrar identitats, passar-ho tot a sinus i cosinus sol ser el camí més directe.
← Anterior Raons trigonomètriques d'un angleSegüent → Raons de l'angle suma de dos angles