Combinatòria
En l'apartat anterior vas comptar casos «a mà», raonant cada vegada si l'ordre importava o si es repetien elements. La combinatòria posa nom i fórmula fixa a cadascuna d'aquestes situacions, per no haver de reinventar el raonament cada vegada: només cal identificar de quin tipus de recompte es tracta.
El principi multiplicatiu i les variacions amb repetició
Un restaurant ofereix en el seu menú del dia $4$ primers plats, $5$ segons plats i $3$ postres. Calcula quants menús complets diferents (compostos per un primer, un…
Un restaurant ofereix en el seu menú del dia $4$ primers plats, $5$ segons plats i $3$ postres. Calcula quants menús complets diferents (compostos per un primer, un segon i unes postres) pot demanar un client.
Un cadenat digital d'una bicicleta s'obre mitjançant una clau de $4$ dígits (del $0$ al $9$). Determina quantes claus diferents es poden configurar si està permès…
Un cadenat digital d'una bicicleta s'obre mitjançant una clau de $4$ dígits (del $0$ al $9$). Determina quantes claus diferents es poden configurar si està permès repetir els dígits.
Variacions sense repetició: triar i ordenar
Una associació de robòtica té $12$ membres. Determina de quantes formes diferents es pot triar una junta directiva formada per un president, un vicepresident i un…
Una associació de robòtica té $12$ membres. Determina de quantes formes diferents es pot triar una junta directiva formada per un president, un vicepresident i un secretari, sabent que una mateixa persona no pot ocupar més d'un càrrec.
Un sistema de seguretat requereix una contrasenya formada per $2$ lletres vocals diferents seguides de $3$ dígits diferents (del $0$ al $9$). Calcula quantes…
Un sistema de seguretat requereix una contrasenya formada per $2$ lletres vocals diferents seguides de $3$ dígits diferents (del $0$ al $9$). Calcula quantes contrasenyes diferents es poden configurar sota aquestes condicions.
Permutacions: ordenar tots els elements
Calcula de quantes formes diferents es poden col·locar $6$ llibres de text diferents en línia sobre una estanteria.
Calcula de quantes formes diferents es poden col·locar $6$ llibres de text diferents en línia sobre una estanteria.
Calcula el nombre d'anagrames diferents, tinguin sentit o no, que es poden formar amb totes les lletres de la paraula $INGENIERIA$.
Calcula el nombre d'anagrames diferents, tinguin sentit o no, que es poden formar amb totes les lletres de la paraula $INGENIERIA$.
Combinacions: triar sense ordenar
Ja coneixes el nombre combinatori $\binom{n}{k}$ del binomi de Newton: en combinatòria s'anomena combinació i compta les maneres de triar $k$ elements de $n$ sense que l'ordre hi influeixi.
Una professora de tecnologia ha de seleccionar $4$ estudiants d'una classe de $20$ perquè assisteixin a una fira de ciències. Calcula quants grups diferents de…
Una professora de tecnologia ha de seleccionar $4$ estudiants d'una classe de $20$ perquè assisteixin a una fira de ciències. Calcula quants grups diferents de representants es poden formar.
En un pla s'han marcat $8$ punts, dels quals no n'hi ha tres d'alineats. Determina quantes rectes diferents es poden traçar unint parells d'aquests punts.
En un pla s'han marcat $8$ punts, dels quals no n'hi ha tres d'alineats. Determina quantes rectes diferents es poden traçar unint parells d'aquests punts.
D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extrauen $3$ cartes a l'atzar i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin de la figura "Rei".
D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extrauen $3$ cartes a l'atzar i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin de la figura "Rei".
Combinatòria amb diversos grups i restriccions
En problemes reals convé combinar tècniques: triar $k$ d'un grup i $j$ d'un altre (multiplicant combinacions), exigir que alguns elements quedin junts, o repartir elements entre diversos destins.
Un equip d'investigació biomèdica ha d'estar format per $5$ persones. Els candidats disponibles són $6$ biòlegs i $4$ químics. Determina quants equips diferents es poden…
Un equip d'investigació biomèdica ha d'estar format per $5$ persones. Els candidats disponibles són $6$ biòlegs i $4$ químics. Determina quants equips diferents es poden formar si a l'equip hi ha d'haver exactament $3$ biòlegs i $2$ químics.
Set amics van al cinema i s'asseuen en una fila de $7$ butaques. Dos d'ells, l'Ana i el Bruno, volen seure junts obligatòriament. Calcula de quantes formes diferents…
Set amics van al cinema i s'asseuen en una fila de $7$ butaques. Dos d'ells, l'Ana i el Bruno, volen seure junts obligatòriament. Calcula de quantes formes diferents poden ocupar els seients.