Progresiones geométricas

Analiza las siguientes secuencias numéricas. Tu tarea es identificar cuáles de ellas son progresiones geométricas. Para las que lo sean, indica cuál es su razón ($r$).

1. a) $2, 6, 18, 54, \dots$
2. b) $5, 10, 15, 20, \dots$
3. c) $80, 40, 20, 10, \dots$
4. d) $3, -3, 3, -3, \dots$

Imagina que un vídeo viral en una red social se comparte muy rápido. Una persona sube el vídeo (minuto 0). En el minuto 1, lo ven 5 personas nuevas. En el minuto 2, cada una de esas 5 personas lo comparte con otras 5 personas nuevas, y así sucesivamente.

1. Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión de nuevos espectadores por minuto.

2. ¿Cuál es la razón $r$ de crecimiento?

3. Escribe la fórmula del término general $a_n$.

Tenemos una hoja de papel con un grosor inicial de $0,1 \text{ mm}$.

Si doblamos la hoja por la mitad, el grosor se duplica. Si la volvemos a doblar, se vuelve a duplicar.

Considera $a_1$ como el grosor tras el primer doblez.

1. Calcula el grosor de la hoja tras 1, 2, 3 y 4 dobleces.

2. ¿Qué grosor tendrá la pila de papel después de 10 dobleces? Expresa el resultado en milímetros.

Dada una progresión geométrica donde el primer término es $a_1 = 3$ y la razón es $r = 2$:

1. a) Calcula el valor del término que ocupa la posición 7 ($a_7$).
2. b) Calcula el valor del término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$).

Utiliza la fórmula del término general: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.

Observa la siguiente figura. Partimos de un cuadrado grande de lado $8 \text{ cm}$. El siguiente cuadrado se forma con una longitud de lado que es la mitad del anterior, y así sucesivamente.

Calcula la longitud del lado de los primeros 4 cuadrados y escribe el término general $a_n$ de la sucesión que forman estas longitudes.

Tenemos un cuadrado de lado 10 cm. Unimos los puntos medios de sus lados para formar un segundo cuadrado inscrito. Repetimos el proceso con el segundo cuadrado para formar un tercero, y así sucesivamente.

1. a) Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del anterior, escribe la sucesión de las áreas de los 5 primeros cuadrados.
2. b) ¿Es una progresión aritmética o geométrica? Identifica el primer término y la diferencia o razón.
3. c) Calcula la suma de las áreas de los 10 primeros cuadrados generados.

Un abuelo decide ahorrar para su nieto siguiendo una regla matemática curiosa. El primer mes guarda 2 euros en una hucha. El segundo mes guarda 6 euros. El tercer mes guarda 18 euros.

Si continúa con esta lógica:

1. Comprueba que es una progresión geométrica y halla la razón $r$.

2. Calcula cuánto dinero tendrá que meter en la hucha el quinto mes.

Miguel quiere comprarse un patinete eléctrico que cuesta 400 €. Decide ahorrar siguiendo un plan estricto: la primera semana ahorra 2 €, la segunda semana 4 €, la tercera 8 €, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada semana.

1. a) ¿Cuánto dinero tendrá que ahorrar la semana número 8?
2. b) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en total al finalizar la semana 8?
3. c) ¿Habrá conseguido dinero suficiente para comprar el patinete al terminar la semana 8? Si no es así, ¿cuántas semanas necesita en total?

Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de 20 metros. En cada rebote, la pelota pierde energía y solo alcanza el 80% de la altura anterior ($r = 0,8$).

1. a) Calcula la altura que alcanza la pelota después del tercer rebote.
2. b) Calcula la distancia total recorrida por la pelota (hacia abajo y hacia arriba) en el momento en que toca el suelo por cuarta vez.

Nota: Ten en cuenta que la primera caída es de 20 m, pero luego sube y baja.

Un vídeo de una famosa streamer se ha vuelto viral. La primera hora tuvo 5 visualizaciones. Debido al algoritmo de la plataforma, cada hora que pasa, el número de nuevas visualizaciones se multiplica por 3 respecto a la hora anterior.

1. a) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión que representa las nuevas visualizaciones por hora.
2. b) ¿Cuál es la razón $r$ de esta progresión geométrica?
3. c) Escribe el término general $a_n$ que permite calcular las visualizaciones en la hora $n$.
4. d) ¿Cuántas nuevas visualizaciones tendrá el vídeo exactamente en la hora 8?

Un biólogo está estudiando una colonia de bacterias en una placa de Petri. Inicialmente cuenta 500 bacterias. Observa que la población aumenta un 20% cada hora.

1. a) Explica por qué este crecimiento se corresponde con una progresión geométrica y determina la razón $r$.
2. b) Escribe el término general $a_n$ que describe el número de bacterias tras $n$ horas. (Considera $a_0 = 500$ como el inicio, o ajusta la fórmula para $a_1$ como la cantidad tras 1 hora).
3. c) ¿Cuántas bacterias habrá, aproximadamente, al cabo de 12 horas?