Equacions irracionals
Ja coneixes les equacions amb radicals de l'apartat anterior. Aquí el focus canvia: no és el catàleg de formes, sinó la disciplina de comprovació. Cada vegada que eleves al quadrat pots guanyar solucions que no existien; al Batxillerat se't demanarà justificar amb rigor per què una solució s'accepta o es descarta, i fins i tot raonar quan una equació irracional no té solució sense resoldre-la.
El mètode: aïllar, elevar i comprovar sempre
Resol la següent equació irracional i comprova la validesa de la seva solució: $\sqrt{4x + 9} = 5$
Resol la següent equació irracional i comprova la validesa de la seva solució:
$\sqrt{4x + 9} = 5$
Resol l'equació irracional aïllant el radical i elevant al quadrat. Tingues una atenció especial a les possibles solucions falses: $\sqrt{2x + 15} = x$
Resol l'equació irracional aïllant el radical i elevant al quadrat. Tingues una atenció especial a les possibles solucions falses:
$\sqrt{2x + 15} = x$
Radicands més elaborats
Troba el valor de $x$ que satisfà la següent equació amb una arrel cúbica: $\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Troba el valor de $x$ que satisfà la següent equació amb una arrel cúbica:
$\sqrt[3]{3x - 5} = 2$
Aïlla la incògnita $x$ en l'equació irracional que conté una fracció en el seu radicand: $\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Aïlla la incògnita $x$ en l'equació irracional que conté una fracció en el seu radicand:
$\sqrt{\frac{5x - 1}{3}} = 3$
Dos radicals: elevar al quadrat dues vegades
Resol l'equació amb dos radicals aïllant-los adequadament en membres diferents abans d'elevar al quadrat: $\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resol l'equació amb dos radicals aïllant-los adequadament en membres diferents abans d'elevar al quadrat:
$\sqrt{x + 5} + \sqrt{x} = 5$
Resol la següent equació que involucra la diferència de dues arrels quadrades. Aïlla una de les arrels abans d'elevar al quadrat: $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
Resol la següent equació que involucra la diferència de dues arrels quadrades. Aïlla una de les arrels abans d'elevar al quadrat:
$\sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
Canvi de variable
Resol la següent equació irracional realitzant un canvi de variable adequat (per exemple, $t = \sqrt{x}$): $x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Resol la següent equació irracional realitzant un canvi de variable adequat (per exemple, $t = \sqrt{x}$):
$x - 7\sqrt{x} + 10 = 0$
Paràmetre i domini: raonar sense resoldre
Discuteix de forma raonada per a quins valors del paràmetre real $k > 0$, l'equació $\sqrt{x + k} = x$ té exactament una única solució real vàlida.
Discuteix de forma raonada per a quins valors del paràmetre real $k > 0$, l'equació $\sqrt{x + k} = x$ té exactament una única solució real vàlida.
Una línia elèctrica ha de connectar una central $A$ situada en un costat d'un riu recte de $4$ km d'amplada, amb una ciutat $B$ situada al costat oposat, $10$ km riu…
Una línia elèctrica ha de connectar una central $A$ situada en un costat d'un riu recte de $4$ km d'amplada, amb una ciutat $B$ situada al costat oposat, $10$ km riu avall. El cost d'estendre el cable sota l'aigua és de $5$ milions d'euros per km, i per terra és de $3$ milions d'euros per km. Si el cable creua el riu en línia recta fins a un punt $P$ situat a $x$ km riu avall i després va per terra fins a $B$, el cost total en milions d'euros és $C(x) = 5\sqrt{x^2 + 16} + 3(10 - x)$. Troba el valor de $x$ que fa que el cost total sigui exactament de $46$ milions d'euros resolent l'equació irracional corresponent.
Aplicacions de les equacions irracionals
La diagonal $d$ d'un rectangle es pot calcular a partir dels seus costats $b$ i $h$ fent servir el teorema de Pitàgores: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabem que la diagonal…
La diagonal $d$ d'un rectangle es pot calcular a partir dels seus costats $b$ i $h$ fent servir el teorema de Pitàgores: $d = \sqrt{b^2 + h^2}$. Si sabem que la diagonal mesura $13$ cm i un dels seus costats mesura $5$ cm, planteja l'equació irracional corresponent i calcula la longitud de l'altre costat.
El període $T$ d'un pèndol simple (el temps que triga a realitzar una oscil·lació completa) es calcula mitjançant la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la…
El període $T$ d'un pèndol simple (el temps que triga a realitzar una oscil·lació completa) es calcula mitjançant la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres i $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ és l'acceleració de la gravetat. Si un rellotge de pèndol en una exposició científica té un període exacte de $2,5$ segons, esbrina la longitud del seu pèndol. Utilitza l'aproximació $\pi \approx 3,14$.
La distància $d$ en quilòmetres a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ en metres sobre el nivell del mar s'aproxima de forma…
La distància $d$ en quilòmetres a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ en metres sobre el nivell del mar s'aproxima de forma simplificada mitjançant la fórmula $d = 3,57\sqrt{h}$. Si un guaita a la gàbia d'un vaixell pirata divisa terra a una distància de $15$ km, a quina altura es troba aproximadament?