Exercicis de producte escalar

Calcula el producte escalar dels vectors $\vec{u} = (3, -2)$ i $\vec{v} = (-1, 5)$.

Troba el mòdul del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina, justificant la teva resposta mitjançant una operació matemàtica, si els vectors $\vec{p} = (4, 6)$ i $\vec{q} = (-3, 2)$ són ortogonals.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè els vectors $\vec{u} = (k, 3)$ i $\vec{v} = (2, -4)$ siguin perpendiculars.

Troba les coordenades d'un vector que sigui perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ i que tingui exactament el seu mateix mòdul.

En el motor físic d'un videojoc, un personatge situat en la coordenada $P(10, 15)$ ha de disparar un projectil en la direcció del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocitat constant de $20$ unitats de distància per fotograma. Determina el vector velocitat $\vec{v}$ exacte del projectil, sabent que ha de tenir la mateixa direcció i sentit que $\vec{d}$ però amb mòdul $20$.

Troba les coordenades d'un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabent que el seu mòdul és $\sqrt{13}$ i que el seu producte escalar amb el vector $\vec{v} = (2, 3)$ dona com a resultat $13$.

En física, el treball $W$ realitzat per una força constant $\vec{F}$ en desplaçar un objecte al llarg d'un vector de desplaçament $\vec{d}$ es calcula mitjançant el producte escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una grua aplica una força $\vec{F} = (150, -40)$ newtons per moure un contenidor des del punt $A(2, 5)$ fins al punt $B(12, 5)$ (coordenades expressades en metres), calcula el treball total realitzat.

Calcula el vector projecció ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.

Calcula l'angle que formen els vectors $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ i $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Per estabilitzar el màstil d'una antena de telecomunicacions, es tensen dos cables ancorats en el mateix punt del màstil i amarrats a terra. Els vectors que representen la direcció dels cables des de l'ancoratge superior cap a terra són $\vec{T_1} = (-4, -5)$ i $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcula l'angle de separació que formen els dos cables en el punt d'amarrament superior.

Calcula la distància entre els punts $A(2, -1)$ i $B(5, 3)$ determinant prèviament les components del vector $\vec{AB}$.

Comprova, utilitzant exclusivament el producte escalar, si el triangle definit pels vèrtexs $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ i $C(3, -1)$ és un triangle rectangle. En cas afirmatiu, indica en quin vèrtex es troba l'angle recte.