Raons de l'angle resta de dos angles

Simplifica al màxim la següent expressió trigonomètrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuació, utilitza el resultat simplificat per avaluar l'expressió de forma exacta quan $x = 75^\circ$ i $y = 15^\circ$.

Simplifica l'expressió $\sin(90^\circ - x)$ aplicant la fórmula del sinus de la resta de dos angles i comprova que equival a una de les raons trigonomètriques bàsiques de l'angle $x$.

Demostra pas a pas que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilitzant la fórmula del cosinus per a la resta d'angles.

Calcula el valor exacte de $\cos(15^\circ)$ sense utilitzar la calculadora, aplicant la fórmula del cosinus de la resta de dos angles i sabent que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Troba el valor exacte de $\sin(15^\circ)$ expressant l'angle com la diferència $60^\circ - 45^\circ$ i aplicant la identitat corresponent.

Determina el valor exacte de $\tan(15^\circ)$ a partir de les tangents dels angles notables $45^\circ$ i $30^\circ$. Racionalitza el resultat si és necessari.

Sabent que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ i $\cos \beta = \frac{12}{13}$, i que tant $\alpha$ com $\beta$ són angles del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin(\alpha - \beta)$.

En una simulació de navegació marítima, un vaixell ha d'ajustar el seu rumb actual. L'angle de correcció necessari ve donat per l'expressió $\alpha - \beta$. Sabent que $\alpha$ i $\beta$ són angles aguts, amb $\tan \alpha = 3$ i $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcula el valor exacte de $\tan(\alpha - \beta)$ i dedueix l'amplitud de l'angle de correcció.

Resol la següent equació trigonomètrica, trobant totes les solucions possibles per a l'interval $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Un raig de llum travessa dos medis diferents amb angles de refracció $\alpha$ i $\beta$. Si per les propietats dels materials sabem que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (sent $\alpha$ un angle del quart quadrant) i $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (sent $\beta$ un angle del segon quadrant), determina el valor exacte de $\cos(\alpha - \beta)$.

En un estudi de mercat, els cicles de vendes estacionals de dos productes es modelen mitjançant funcions trigonomètriques. La diferència de fase que determina la competència directa ve donada pel valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ i $\cos y = \frac{2}{5}$, amb $x$ situat al primer quadrant i $y$ al quart quadrant, troba el valor exacte de $\cos(x - y)$.

En un circuit de corrent altern, la diferència de potencial entre dos nodes ve donada per la superposició de dos senyals desfasats: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utilitza les fórmules trigonomètriques de la resta d'angles per expressar la diferència de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinant els valors de $A$ i $\phi$.