Successió creixent
Fins ara deies que una successió "sembla" creixent mirant els primers termes. A Batxillerat has de demostrar-ho per a tot $n$, d'una vegada per sempre, sense calcular terme a terme.
El criteri de la diferència
Escriu els quatre primers termes de la successió $a_n = 3n - 5$ i comprova, calculant la diferència $a_{n+1} - a_n$, que es tracta d'una successió estrictament creixent.
Escriu els quatre primers termes de la successió $a_n = 3n - 5$ i comprova, calculant la diferència $a_{n+1} - a_n$, que es tracta d'una successió estrictament creixent.
Determina si la successió $c_n = n^2 + 2n$ és creixent. Per fer-ho, calcula algebraicament la diferència entre el terme $n+1$ i el terme $n$, i analitza el signe del…
Determina si la successió $c_n = n^2 + 2n$ és creixent. Per fer-ho, calcula algebraicament la diferència entre el terme $n+1$ i el terme $n$, i analitza el signe del resultat.
Demostra de forma algebraica que la successió de terme general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ és estrictament creixent. Per fer-ho, desenvolupa la inequació…
Demostra de forma algebraica que la successió de terme general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ és estrictament creixent. Per fer-ho, desenvolupa la inequació $a_{n+1} - a_n > 0$ i justifica el signe del numerador i del denominador resultants.
El criteri del quocient
Quan tots els termes són positius, comparar és més còmode dividint que restant.
Dada la successió geomètrica $d_n = 3^n$, utilitza el mètode del quocient (és a dir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) per demostrar que és una successió estrictament…
Dada la successió geomètrica $d_n = 3^n$, utilitza el mètode del quocient (és a dir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) per demostrar que és una successió estrictament creixent.
La població d'una colònia de bacteris en un cultiu controlat es modelitza mitjançant la successió $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, on $n \geq 1$ representa els dies…
La població d'una colònia de bacteris en un cultiu controlat es modelitza mitjançant la successió $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, on $n \geq 1$ representa els dies transcorreguts. Utilitza el criteri del quocient $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ per demostrar rigorosament que la població està en constant creixement.
Estudia la monotonia de la successió $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demostra que no és estrictament creixent per a tot $n$, indicant a partir de quin terme específic comença a…
Estudia la monotonia de la successió $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demostra que no és estrictament creixent per a tot $n$, indicant a partir de quin terme específic comença a decreixer de forma estricta.
Successions amb radicals
Amb arrels, la diferència $a_{n+1}-a_n$ sol donar una indeterminació aparent que es resol multiplicant i dividint pel conjugat, igual que ja feies amb límits de funcions irracionals.
Considera la successió amb radicals $c_n = \sqrt{n+5}$. Demostra que és estrictament creixent. Per evitar treballar directament amb desigualtats d'arrels, multiplica i…
Considera la successió amb radicals $c_n = \sqrt{n+5}$. Demostra que és estrictament creixent. Per evitar treballar directament amb desigualtats d'arrels, multiplica i divideix l'expressió $c_{n+1} - c_n$ pel seu conjugat.
Demostra que la successió de terme general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ és estrictament creixent. Pista: Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans d'analitzar la…
Demostra que la successió de terme general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ és estrictament creixent. Pista: Multiplica i divideix per l'expressió conjugada abans d'analitzar la diferència $a_{n+1} - a_n$.
Successions amb un paràmetre
Alguns problemes demanen trobar per a quins valors d'un paràmetre una successió resulta creixent: es planteja la condició $a_{n+1}-a_n>0$ (o el quocient $>1$) i s'aïlla el paràmetre.
Troba els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals la successió definida per $a_n = (k-3)n + 5$ és estrictament creixent. Raona la teva resposta a partir de…
Troba els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals la successió definida per $a_n = (k-3)n + 5$ és estrictament creixent. Raona la teva resposta a partir de la diferència $a_{n+1} - a_n$.
Troba el rang de valors de $x \in \mathbb{R}$ per als quals la successió geomètrica $a_n = (2x - 1)^n$ és estrictament creixent i de termes exclusivament positius.
Troba el rang de valors de $x \in \mathbb{R}$ per als quals la successió geomètrica $a_n = (2x - 1)^n$ és estrictament creixent i de termes exclusivament positius.