Problemes d'optimització

Descompon el nombre $24$ com a suma de dos nombres positius de manera que el seu producte sigui màxim. Planteja la funció que s'ha d'optimitzar i resol-ho amb la derivada.

Quin nombre positiu excedeix el seu quadrat en la quantitat més gran possible? Expressa aquesta quantitat en funció del nombre i maximitza-la amb la derivada.

Troba dos nombres positius que sumin $18$ i la suma de quadrats dels quals sigui mínima.

Entre tots els rectangles de perímetre $36\ \text{m}$, troba les dimensions del que té àrea màxima i calcula aquesta àrea.

Un hortolà vol tancar amb una tanca un hort rectangular recolzat en el mur de casa seva, de manera que només necessita tancar tres costats. Disposa de $60\ \text{m}$ de tanca.

1. a) Expressa l'àrea de l'hort en funció del costat $x$ perpendicular al mur.

1. b) Troba les dimensions que fan màxima l'àrea i el valor d'aquesta àrea.

Amb una cartolina quadrada de $24\ \text{cm}$ de costat es vol construir una caixa sense tapa retallant quatre quadrats iguals de costat $x$ a les cantonades i doblant els laterals, com indica la figura.

1. a) Expressa el volum de la caixa $V(x)$ en funció de $x$ i indica el domini de validesa de $x$.

1. b) Troba el valor de $x$ que fa màxim el volum.

1. c) Calcula el volum màxim i comprova, amb el signe de $V'(x)$ a tots dos costats, que es tracta d'un màxim.

Un ramader disposa de $240\ \text{m}$ de tanca per construir un corral rectangular dividit en dues parcel·les per una tanca interior paral·lela a un dels costats, com a la figura.

1. a) Expressa l'àrea total del corral en funció d'un dels seus costats.

1. b) Determina les dimensions que fan màxima l'àrea total i calcula aquesta àrea.

Una botiga de roba ven cada setmana $80$ samarretes a $12\ \text{€}$ la unitat. S'estima que per cada euro que rebaixi el preu vendrà $10$ samarretes més a la setmana.

1. a) Expressa l'ingrés setmanal $I(x)$ en funció de la rebaixa $x$ en euros.

1. b) Troba el preu que maximitza l'ingrés i l'ingrés màxim setmanal.

D'un tronc de secció circular de diàmetre $d$ es vol tallar una biga de secció rectangular, com mostra la figura. La resistència de la biga a la flexió és proporcional al producte de la seva base pel quadrat de la seva altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Expressa la resistència en funció de la base $b$ fent servir la relació que relaciona $b$, $h$ i $d$.

1. b) Troba les dimensions de la biga de màxima resistència.