Binomi de Newton
Desenvolupar $(2x-y)^4$ multiplicant parèntesis a mà és llarg i és fàcil equivocar-se amb els signes. El binomi de Newton dona els coeficients d'aquest desenvolupament sense multiplicar res: només comptant combinacions. És la mateixa idea que compta camins en un tauler de Galton o genotips en una població, i apareix cada vegada que alguna cosa es repeteix $n$ vegades amb dues possibilitats.
Factorial i nombres combinatoris
El factorial d'un nombre natural, $n!$, és el producte de tots els naturals des de $1$ fins a $n$ ($0!=1$ per conveni). El nombre combinatori $\binom{n}{k}$ compta de quantes maneres es poden triar $k$ elements d'un total de $n$, sense importar l'ordre.
Calcula el valor de la següent expressió utilitzant les propietats dels factorials i els nombres combinatoris: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Calcula el valor de la següent expressió utilitzant les propietats dels factorials i els nombres combinatoris: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Simplifica al màxim la següent expressió algebraica amb factorials: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifica al màxim la següent expressió algebraica amb factorials: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Troba el valor del nombre natural $x$ que verifica la següent equació amb nombres combinatoris: $\binom{x}{2} = 21$.
Troba el valor del nombre natural $x$ que verifica la següent equació amb nombres combinatoris: $\binom{x}{2} = 21$.
El triangle de Pascal
Els nombres combinatoris $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$ d'una fila $n$ són exactament els coeficients del desenvolupament de $(a+b)^n$. Col·locats en un triangle, cada nombre és la suma dels dos que té a sobre: és el triangle de Pascal (o de Tartaglia).
Utilitza el triangle de Tartaglia (o de Pascal) per obtenir els coeficients de la sisena fila i desenvolupa l'expressió $(m + 2n)^6$.
Utilitza el triangle de Tartaglia (o de Pascal) per obtenir els coeficients de la sisena fila i desenvolupa l'expressió $(m + 2n)^6$.
La fórmula del binomi de Newton
El binomi de Newton desenvolupa $(a+b)^n$ sense multiplicar parèntesis un a un: cada terme combina una potència d'$a$ que baixa, una de $b$ que puja, i el coeficient corresponent del triangle de Pascal.
Desenvolupa completament el binomi $(x + 3)^4$ utilitzant la fórmula del binomi de Newton.
Desenvolupa completament el binomi $(x + 3)^4$ utilitzant la fórmula del binomi de Newton.
Desenvolupa l'expressió $(2a - b)^5$ i indica quants termes té el desenvolupament final.
Desenvolupa l'expressió $(2a - b)^5$ i indica quants termes té el desenvolupament final.
Desenvolupa el binomi amb fraccions $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ i simplifica cadascun dels termes resultants.
Desenvolupa el binomi amb fraccions $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ i simplifica cadascun dels termes resultants.
El terme general: un terme sense desenvolupar-ho tot
No sempre cal el desenvolupament complet: si només es demana «el quart terme» o «el terme en $x^3$», la fórmula del terme general el dona directament, sense calcular els altres.
Escriu directament el quart terme del desenvolupament del binomi $(x^2 - 2y)^7$, sense calcular tot el desenvolupament.
Escriu directament el quart terme del desenvolupament del binomi $(x^2 - 2y)^7$, sense calcular tot el desenvolupament.
Calcula el coeficient del terme que conté $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x - 4)^5$.
Calcula el coeficient del terme que conté $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x - 4)^5$.
Troba el terme independent de $x$ (és a dir, el terme que no conté la variable $x$) en el desenvolupament del binomi $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Troba el terme independent de $x$ (és a dir, el terme que no conté la variable $x$) en el desenvolupament del binomi $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Radicals, fraccions i signes variables en el terme general
El terme general serveix igual quan $a$ o $b$ són fraccions, arrels o porten el seu propi signe; només cal anar amb compte en simplificar les potències de $x$ que se sumen o es resten a l'exponent.
Determina el terme central en el desenvolupament del binomi $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ i simplifica l'expressió resultant.
Determina el terme central en el desenvolupament del binomi $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ i simplifica l'expressió resultant.
Troba el cinquè terme en el desenvolupament del binomi $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultat combinant les potències de $x$.
Troba el cinquè terme en el desenvolupament del binomi $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultat combinant les potències de $x$.
Desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió amb radicals $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa els termes semblants i deixa el resultat sense…
Desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió amb radicals $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa els termes semblants i deixa el resultat sense exponents negatius.
Propietats dels nombres combinatoris i aplicacions
Dues propietats resulten molt útils: la suma de tots els coeficients d'una fila és sempre $2^n$ (substituint $a=b=1$), i substituir valors concrets a la fórmula general permet aproximar o modelitzar situacions reals.
Demostra que la suma de tots els nombres combinatoris d'una mateixa fila $n$ compleix que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilitzant el…
Demostra que la suma de tots els nombres combinatoris d'una mateixa fila $n$ compleix que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilitzant el desenvolupament del binomi de Newton per a $(1+1)^n$. Aplica aquest resultat per determinar quants grups diferents (de qualsevol mida, incloent-hi el grup buit) es poden formar amb els $8$ empleats d'una oficina.
Calcula la suma de tots els coeficients del polinomi resultant en desenvolupar $(3x - 2y)^5$. Pista: Pensa en quins valors numèrics pots assignar a les variables $x$ i…
Calcula la suma de tots els coeficients del polinomi resultant en desenvolupar $(3x - 2y)^5$. Pista: Pensa en quins valors numèrics pots assignar a les variables $x$ i $y$ perquè l'expressió avaluada coincideixi exactament amb la suma dels seus coeficients.
En economia, el capital final acumulat després de $5$ anys a un interès compost anual $r$ es calcula mitjançant la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilitza el binomi de…
En economia, el capital final acumulat després de $5$ anys a un interès compost anual $r$ es calcula mitjançant la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilitza el binomi de Newton per desenvolupar $(1 + r)^5$. Si el tipus d'interès és $r = 0,03$, calcula una aproximació del capital final per a un capital inicial de $1000$ € utilitzant únicament els tres primers termes del desenvolupament.
Torna al principi: Amb la fórmula del binomi, $(2x-y)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3y + 6(2x)^2y^2 - 4(2x)y^3 + y^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$, resolt en un sol pas i sense multiplicar parèntesis a mà.