Monotonia i extrems d'una funció
Una empresa produeix més lots i, al principi, guanya més diners. Però si en produeix massa, els costos es disparen i el benefici comença a baixar. Hi ha un punt exacte en què el benefici deixa de créixer i comença a decréixer: un màxim. Abans de poder trobar-lo amb precisió, necessites una manera de mesurar com canvia una funció: la taxa de variació mitjana.
La taxa de variació mitjana
Per saber com canvia $f$ entre dos punts $a$ i $b$, compara quant puja o baixa la funció amb quant t'has mogut en l'eix $X$.
Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en l'interval $[2, 5]$. A partir del resultat, pots deduir si la funció és, de mitjana,…
Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en l'interval $[2, 5]$. A partir del resultat, pots deduir si la funció és, de mitjana, creixent o decreixent en aquest interval?
Calcula la Taxa de Variació Mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en l'interval $[1, 4]$. Què ens indica el signe del resultat sobre el comportament de la…
Calcula la Taxa de Variació Mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en l'interval $[1, 4]$. Què ens indica el signe del resultat sobre el comportament de la funció en aquest interval?
Creixent i decreixent
El signe de la TVM et diu si la funció puja o baixa de mitjana, però per parlar de monotonia amb rigor cal una definició que no depengui de «mitjanes»: comparar la funció en qualsevol parell de punts de l'interval.
Utilitzant la definició algebraica de monotonia (avaluant $f(x)$ i $f(y)$ per a dos valors arbitraris $x < y$), demostra que la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és…
Utilitzant la definició algebraica de monotonia (avaluant $f(x)$ i $f(y)$ per a dos valors arbitraris $x < y$), demostra que la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és estrictament creixent en tot el seu domini $\mathbb{R}$.
Demostra algebraicament que la funció $f(x) = 2x^3 + 5$ és estrictament creixent per a tot $x \in \mathbb{R}$. Per fer-ho, pren dos valors qualssevol $x_1$ i $x_2$ tals…
Demostra algebraicament que la funció $f(x) = 2x^3 + 5$ és estrictament creixent per a tot $x \in \mathbb{R}$. Per fer-ho, pren dos valors qualssevol $x_1$ i $x_2$ tals que $x_1 < x_2$ i comprova que $f(x_1) < f(x_2)$.
Determina els intervals de monotonia (creixement i decreixement) de la funció racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Pots meitat/justificar la teva resposta analitzant la…
Determina els intervals de monotonia (creixement i decreixement) de la funció racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Pots meitat/justificar la teva resposta analitzant la Taxa de Variació Mitjana en intervals genèrics o recolzant-te en les propietats gràfiques de les hipèrboles.
Màxims i mínims d'una funció
En un màxim o un mínim, la funció canvia de sentit: deixa de créixer i comença a decréixer, o a l'inrevés.
Mou els lliscadors i observa com canvia el vèrtex:
Troba analíticament el vèrtex de la funció quadràtica $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si aquest punt correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.
Troba analíticament el vèrtex de la funció quadràtica $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indica si aquest punt correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + kx + 5$ assoleixi el seu valor màxim exactament en l'abscissa $x = 4$. Un cop trobat $k$,…
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + kx + 5$ assoleixi el seu valor màxim exactament en l'abscissa $x = 4$. Un cop trobat $k$, calcula aquest valor màxim.
El benefici d'una empresa de components electrònics, expressat en milers d'euros, ve donat per la funció $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, on $x$ és el nombre de lots…
El benefici d'una empresa de components electrònics, expressat en milers d'euros, ve donat per la funció $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, on $x$ és el nombre de lots produïts. Quants lots ha de produir l'empresa per maximitzar el seu benefici? A quant ascendeix aquest benefici màxim?
Funcions fitades
Algunes funcions mai no superen un cert valor, per molt que avanci $x$: estan fitades.
Comprova si el punt $x = 3$ és un mínim local per a la funció $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Per a fer-ho, avalua la funció en el mateix punt i en dos valors molt propers a la…
Comprova si el punt $x = 3$ és un mínim local per a la funció $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Per a fer-ho, avalua la funció en el mateix punt i en dos valors molt propers a la seva esquerra i dreta, per exemple $x = 2,9$ i $x = 3,1$.
Demostra que la funció $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ té un màxim absolut a $x=0$. Per aconseguir-ho, prova algebraicament que la desigualtat $f(x) \le f(0)$ es compleix per a…
Demostra que la funció $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ té un màxim absolut a $x=0$. Per aconseguir-ho, prova algebraicament que la desigualtat $f(x) \le f(0)$ es compleix per a qualsevol nombre real $x$.
Demostra que la funció quadràtica $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ està acotada superiorment. Calcula el seu màxim absolut i determina de forma exacta l'interval en què la…
Demostra que la funció quadràtica $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ està acotada superiorment. Calcula el seu màxim absolut i determina de forma exacta l'interval en què la funció és estrictament decreixent.
Torna al principi: Si la relació entre producció i benefici segueix una corba quadràtica $B(x) = ax^2 + bx + c$, el nombre òptim de lots per aconseguir el benefici màxim s'obté trobant l'abscissa del seu vèrtex: $x_v = -\dfrac{b}{2a}$.