Seccions còniques i llocs geomètrics
Una antena de telecomunicacions, l'òrbita d'un planeta, el cable d'un pont penjant i el reflector d'un far no tenen res a veure entre si. I tanmateix, les corbes que descriuen són només quatre, i les quatre surten de tallar un con amb un pla. Les coneixeràs com a llocs geomètrics: el conjunt de punts que compleixen una condició de distàncies. La circumferència ja la coneixes de 3r d'ESO; ara arriben l'el·lipse, la hipèrbola i la paràbola.
Tallar un con: d'on surten les còniques
Un con de revolució es talla amb un pla que no passa pel seu vèrtex. Si el pla és paral·lel a una única generatriu del con, quina secció cònica s'obté? Justifica la teva…
Un con de revolució es talla amb un pla que no passa pel seu vèrtex. Si el pla és paral·lel a una única generatriu del con, quina secció cònica s'obté? Justifica la teva resposta basant-te en la definició geomètrica de les seccions còniques.
Repàs: el lloc geomètric com a eina
Repassa la circumferència com a lloc geomètric: arrossega P fins que $OP$ valgui sempre el mateix.
Les quatre còniques d'aquest tema són llocs geomètrics una mica més elaborats: en lloc d'una sola distància fixa, imposen una relació entre dues distàncies (a un o dos punts fixos, o a un punt i una recta).
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla la distància dels quals a l'origen de coordenades és sempre igual a $5$.
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla la distància dels quals a l'origen de coordenades és sempre igual a $5$.
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla que equidisten dels punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$. Quina figura geomètrica representa?
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla que equidisten dels punts $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$. Quina figura geomètrica representa?
Construir l'equació pas a pas
El mètode és sempre el mateix: anomenes $P(x,y)$ el punt genèric, escrius la condició amb les fórmules de distància i simplifiques fins a treure les arrels.
En un projecte de telecomunicacions, s'ubiquen dues antenes emissores en els punts $A(-3,0)$ i $B(3,0)$ d'un pla cartesià (en km). Un receptor $R(x,y)$ es mou de manera…
En un projecte de telecomunicacions, s'ubiquen dues antenes emissores en els punts $A(-3,0)$ i $B(3,0)$ d'un pla cartesià (en km). Un receptor $R(x,y)$ es mou de manera que la seva distància a l'antena $A$ és sempre el doble que la seva distància a l'antena $B$. Troba l'equació del lloc geomètric que descriu el receptor i identifica de quina cònica es tracta, indicant-ne el centre i el radi.
L'extrem $P(x,y)$ d'un braç robòtic industrial està programat per moure's de tal manera que la seva distància a la recta de seguretat $x = -4$ és sempre el doble de la…
L'extrem $P(x,y)$ d'un braç robòtic industrial està programat per moure's de tal manera que la seva distància a la recta de seguretat $x = -4$ és sempre el doble de la seva distància al punt d'ancoratge $F(-1,0)$. Determina l'equació de la trajectòria que descriu l'extrem del braç i identifica quin tipus de cònica representa.
Condicions amb distàncies al quadrat
Algunes condicions ja vénen sense arrels: demanen la suma o la diferència dels quadrats de dues distàncies. Són fins i tot més ràpides de treballar.
Troba el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la diferència de quadrats de distàncies dels quals als punts $A(1,0)$ i $B(-1,0)$ és igual a $8$, és a dir,…
Troba el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ la diferència de quadrats de distàncies dels quals als punts $A(1,0)$ i $B(-1,0)$ és igual a $8$, és a dir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que la suma dels quadrats de les seves distàncies als punts $A(2,0)$ i $B(-2,0)$ és igual a $20$.
Troba l'equació del lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que la suma dels quadrats de les seves distàncies als punts $A(2,0)$ i $B(-2,0)$ és igual a $20$.
L'excentricitat: una recepta per a les quatre corbes
Aquest nombre $e$ —l'excentricitat— reapareixerà en cadascuna de les tres properes seccions: mesura com d'«aixafada» és la corba respecte a la seva forma més simple, la circumferència.
El reflector d'un far marítim té un perfil dissenyat de manera que la distància de qualsevol punt de la seva superfície al focus emissor de llum, situat a $F(0,2)$, és…
El reflector d'un far marítim té un perfil dissenyat de manera que la distància de qualsevol punt de la seva superfície al focus emissor de llum, situat a $F(0,2)$, és exactament igual a la seva distància a una línia de referència horitzontal d'equació $y = -2$. Determina l'equació del lloc geomètric del perfil del reflector.
Torna al principi: cada aplicació fa servir una corba diferent: les òrbites dels planetes són el·lipses; els reflectors dels fars i els cables dels ponts adopten formes parabòliques; i la sincronització de senyals entre antenes es basa en la hipèrbola i la paràbola.