Funció trigonomètrica
Un enginyer que dissenya el circuit del teu carregador necessita saber exactament quan el voltatge de la xarxa elèctrica assoleix el seu màxim, cinquanta vegades per segon. Un estudi de marees necessita predir la profunditat de l'aigua en un port amb hores d'antelació. Tots dos problemes es resolen amb la mateixa eina: les funcions trigonomètriques, treballades ara amb tot el rigor que exigeix el radian com a unitat de mesura.
Domini, recorregut i periodicitat de sinus i cosinus
Determina el domini i el recorregut (imatge) de la funció trigonomètrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
Determina el domini i el recorregut (imatge) de la funció trigonomètrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
Calcula el període de la funció $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.
Calcula el període de la funció $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.
Estudia la simetria (parell, senar o cap) de les funcions trigonomètriques següents: $f(x) = x^2 \sin(x)$ $g(x) = \cos(x) + x^4$
Estudia la simetria (parell, senar o cap) de les funcions trigonomètriques següents:
-
$f(x) = x^2 \sin(x)$
-
$g(x) = \cos(x) + x^4$
La tangent: període $\pi$ i asímptotes verticals
Avalua la funció $f(x) = \tan(x)$ en els següents valors exactes expressats en radians: $x = \frac{3\pi}{4}$ $x = \frac{5\pi}{3}$
Avalua la funció $f(x) = \tan(x)$ en els següents valors exactes expressats en radians:
-
$x = \frac{3\pi}{4}$
-
$x = \frac{5\pi}{3}$
Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en l'interval $[0, 2\pi]$.
Determina el domini de la funció $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en l'interval $[0, 2\pi]$.
Determina el domini de la funció $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restringit a l'interval $[0, 2\pi]$.
Determina el domini de la funció $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restringit a l'interval $[0, 2\pi]$.
Amplitud, període i desfasament: $A\sin(B(x-C))+D$
Donada la funció $y = 5 - 3\sin(2x)$, identifica la seva amplitud i el seu desplaçament vertical respecte de la funció sinus bàsica.
Donada la funció $y = 5 - 3\sin(2x)$, identifica la seva amplitud i el seu desplaçament vertical respecte de la funció sinus bàsica.
Escriu l'expressió analítica d'una funció del tipus $f(x) = A\cos(Bx)$ sabent que la seva amplitud és $5$ i el seu període és $4\pi$. <br>
Escriu l'expressió analítica d'una funció del tipus $f(x) = A\cos(Bx)$ sabent que la seva amplitud és $5$ i el seu període és $4\pi$.
Troba l'expressió analítica de la funció $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabent que: El seu valor màxim és $4$ i el seu valor mínim és $-2$. El seu període és $\pi$. Passa pel…
Troba l'expressió analítica de la funció $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabent que:
-
El seu valor màxim és $4$ i el seu valor mínim és $-2$.
-
El seu període és $\pi$.
-
Passa pel punt $(0, 1)$ i és creixent en aquest instant.
Funcions trigonomètriques inverses
Calcula el valor exacte en radians de les següents expressions amb funcions trigonomètriques inverses, sense utilitzar la calculadora:…
Calcula el valor exacte en radians de les següents expressions amb funcions trigonomètriques inverses, sense utilitzar la calculadora:
-
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
-
$\arccos(0)$
-
$\arctan(\sqrt{3})$
Donada la funció $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$: Determina el seu domini. Determina el seu recorregut (imatge). <br>
Donada la funció $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:
-
Determina el seu domini.
-
Determina el seu recorregut (imatge).
Resol analíticament l'equació trigonomètrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.
Resol analíticament l'equació trigonomètrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.
Fenòmens periòdics reals
Marees, corrent altern, cicles estacionals: qualsevol magnitud que es repeteix exactament igual cada interval fix de temps es modela amb $A\sin(B(t-C))+D$ o el seu equivalent amb cosinus, on $t$ sol ser el temps.
La profunditat de l'aigua $d$ (en metres) a l'entrada d'un port varia amb les marees i es pot modelitzar mitjançant la funció…
La profunditat de l'aigua $d$ (en metres) a l'entrada d'un port varia amb les marees i es pot modelitzar mitjançant la funció $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de la mitjanit ($t=0$).
-
Quina és la profunditat màxima i mínima de l'aigua al port?
-
A quines hores del dia s'assoleix la profunditat màxima per primera i segona vegada?
El voltatge $V$ (en volts) d'un circuit de corrent altern en funció del temps $t$ (en segons) ve donat per $V(t) = 311\sin(100\pi t)$. Calcula la freqüència del corrent…
El voltatge $V$ (en volts) d'un circuit de corrent altern en funció del temps $t$ (en segons) ve donat per $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.
-
Calcula la freqüència del corrent (nombre de cicles complets per segon).
-
Determina el primer instant $t > 0$ en què el voltatge assoleix el seu valor màxim de $311$ V.
En una ciutat, el nombre d'hores de llum solar al llarg de l'any es pot aproximar mitjançant una funció del tipus $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$,…
En una ciutat, el nombre d'hores de llum solar al llarg de l'any es pot aproximar mitjançant una funció del tipus $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, on $t$ és el dia de l'any ($t=1$ és l'1 de gener).
Sabent que el dia amb més hores de llum és el 21 de juny ($t=172$) amb $15$ hores, i el dia amb menys hores de llum és el 21 de desembre ($t=355$) amb $9$ hores:
-
Troba els valors dels paràmetres $A$, $C$ i $D$.
-
Estima el nombre d'hores de llum el 21 de març ($t=80$).
Torna al principi: El voltatge del circuit assoleix el seu primer màxim positiu quan $\sin(100\pi t)=1$, és a dir, quan $100\pi t = \dfrac{\pi}{2}$, cosa que passa exactament als $t = \dfrac{1}{200}\text{ s} = 0{,}005\text{ s}$ ($5\text{ ms}$) d'iniciar el cicle.