Teorema del sinus

En un triangle $ABC$, es coneixen els angles $A = 45^\circ$ i $B = 60^\circ$, i la longitud del costat $a = 12$ cm. Calcula la longitud del costat $b$ utilitzant el teorema del sinus.

En un triangle qualsevol, el costat $c$ mesura $24$ cm i l'angle oposat $C$ mesura $30^\circ$. Calcula el radi $R$ de la circumferència circumscrita a aquest triangle.

En un triangle isòsceles, l'angle desigual mesura $40^\circ$ i els costats iguals mesuren $15$ cm. Calcula la longitud del costat desigual aplicant directament el teorema del sinus.

Donat un triangle $ABC$ del qual es coneixen els costats $a = 15$ cm, $b = 10$ cm i l'angle obtús $A = 120^\circ$. Determina el valor de l'angle $B$.

Determina si és possible construir un triangle $ABC$ amb les següents dades: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm i $A = 45^\circ$. Justifica la teva resposta matemàticament emprant el teorema del sinus.

En el triangle $ABC$, es coneixen els costats $a = 10$ cm, $b = 14$ cm i l'angle $A = 30^\circ$. Calcula els dos possibles valors per a l'angle $B$ i les longituds corresponents del costat $c$ per a cada cas.

Dues estacions de guardacostes, $A$ i $B$, estan separades per una distància de $50$ km al llarg d'una costa rectilínia. Un vaixell $S$ emet un senyal de socors. L'estació $A$ detecta el senyal formant un angle de $40^\circ$ amb la línia de la costa, mentre que l'estació $B$ la detecta amb un angle de $65^\circ$. Calcula la distància en línia recta des de cada estació fins al vaixell.

Una torre antiga s'ha inclinat i ara forma un angle de $85^\circ$ amb el sòl horitzontal. Un topògraf es situa a $40$ m de la base de la torre, exactament en la direcció cap a la qual aquesta s'inclina. Des d'aquest punt, mesura l'angle d'elevació fins a la cúspide de la torre, obtenint $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre des de la seva base fins a la cúspide.

Un telefèric ascendeix en línia recta des d'una estació base $A$ fins al cim $C$ d'una muntanya. Des d'un punt $D$, situat $200$ m per darrere de $A$ en el mateix pla horitzontal, l'angle d'elevació cap a $C$ és de $22^\circ$. Des de l'estació $A$, l'angle d'elevació cap al cim és de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del telefèric resolent el triangle $ADC$.

Calcula el perímetre d'un heptàgon regular (polígon de 7 costats) que està inscrit en una circumferència de radi $R = 10$ cm. Utilitza el teorema del sinus en els triangles isòsceles que es formen des del centre del polígon.

Una parcel·la de terreny amb forma triangular té dos angles que mesuren $60^\circ$ i $75^\circ$. El costat comprès entre aquests dos angles està delimitat per un mur recte que mesura $120$ m. Calcula l'àrea total de la parcel·la.

El vessant d'una muntanya presenta una inclinació constant de $15^\circ$ respecte al pla horitzontal. Dos punts $A$ i $B$ es troben sobre el vessant, essent $B$ situat $50$ m més amunt que $A$ al llarg del pendent. En el punt $B$ s'ha instal·lat un pal vertical de telecomunicacions. Des del punt $A$, l'angle d'elevació fins a l'extrem superior del pal és de $42^\circ$ mesurat des de la horitzontal. Calcula l'altura exacta del pal.