Término general de una sucesión

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.

Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.

Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.

Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.

Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.

Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.

Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
2. b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.

El valor de mercado de un coche nuevo es de $24\,000$ €. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el término general $V_n$ que expresa el valor del coche al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determina su valor estimado al cabo de $5$ años.

Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?