Taxa de variació mitjana d'una funció
Un cotxe recorre 150 km en 2 hores: la seva velocitat mitjana és 75 km/h, però això no diu res de com va ser el viatge a cada instant. El mateix passa amb qualsevol funció: la taxa de variació mitjana mesura quant canvia, de mitjana, entre dos punts. En aquest tema la formalitzaràs i la deixaràs a punt per al pas següent: reduir l'interval fins a un únic punt.
Taxa de variació mitjana: definició i càlcul
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 3x - 5$ en l'interval $[1, 4]$. Coincideix aquest valor amb el pendent de la recta que representa la funció?
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 3x - 5$ en l'interval $[1, 4]$. Coincideix aquest valor amb el pendent de la recta que representa la funció?
Troba la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$.
Troba la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$.
Interpretació geomètrica: la recta secant
Això funciona igual per a qualsevol tipus de funció: polinòmica, racional o amb radicals. Només canvia l'expressió que substitueixes.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en l'interval $[2, 5]$.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en l'interval $[2, 5]$.
Troba la taxa de variació mitjana de la funció radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en l'interval $[1, 6]$.
Troba la taxa de variació mitjana de la funció radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en l'interval $[1, 6]$.
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a la figura. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[-2, 2]$. Quina interpretació geomètrica té aquest…
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ representada a la figura. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[-2, 2]$. Quina interpretació geomètrica té aquest valor respecte de la recta secant traçada?
La TVM en un interval genèric $[a, a+h]$
Per estudiar què passa just en un punt $x=a$ convé escriure l'altre extrem com $a+h$, amb $h$ la mida del pas. Així la TVM queda en funció de $h$, i es pot veure què passa en reduir-lo.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, simplificant l'expressió resultant tant com sigui possible.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \frac{1}{x}$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, simplificant l'expressió resultant tant com sigui possible.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \sqrt{x+2}$ en l'interval $[2, 2+h]$. A continuació, determina a quin valor s'aproxima aquesta taxa de variació…
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = \sqrt{x+2}$ en l'interval $[2, 2+h]$. A continuació, determina a quin valor s'aproxima aquesta taxa de variació quan $h$ tendeix a $0$.
La TVM com a velocitat mitjana i altres magnituds
Quan $f$ mesura una posició en funció del temps, la TVM és la velocitat mitjana. La mateixa idea serveix per a qualsevol altra magnitud: temperatura, volum d'un dipòsit, benefici d'una empresa.
La distància en metres recorreguda per un ciclista en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $d(t) = 2t^2 + 5t$. Quina ha sigut la seva velocitat mitjana…
La distància en metres recorreguda per un ciclista en funció del temps en segons ve donada per l'expressió $d(t) = 2t^2 + 5t$. Quina ha sigut la seva velocitat mitjana entre els instants $t = 2$ i $t = 5$?
Els beneficis mensuals d'una empresa, en milers d'euros, venen donats per la funció $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, on $x$ és la quantitat invertida en publicitat en milers…
Els beneficis mensuals d'una empresa, en milers d'euros, venen donats per la funció $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, on $x$ és la quantitat invertida en publicitat en milers d'euros. Calcula la taxa de variació mitjana del benefici si la inversió en publicitat passa de $3$ a $6$ milers d'euros, i interpreta el resultat.
Des de dalt d'un penya-segat es llança verticalment cap amunt una bengala de salvament. La seva altura en metres respecte al nivell del mar després de $t$ segons ve…
Des de dalt d'un penya-segat es llança verticalment cap amunt una bengala de salvament. La seva altura en metres respecte al nivell del mar després de $t$ segons ve donada per $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determina la velocitat mitjana de la bengala en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Què indica el signe dels resultats obtinguts?
Comparar taxes de variació i casos especials
No totes les funcions creixen igual. Comparar la TVM de dues funcions en el mateix interval permet saber quina canvia més de pressa de mitjana en aquest tram, tot i que aquesta comparació pot invertir-se en un altre interval.
Compara la taxa de variació mitjana de les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^3$ en l'interval $[2, 4]$. Quina de les dues funcions experimenta un creixement mitjà més…
Compara la taxa de variació mitjana de les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = x^3$ en l'interval $[2, 4]$. Quina de les dues funcions experimenta un creixement mitjà més gran en aquest interval?
Demostra analíticament que la taxa de variació mitjana de qualsevol funció afí $f(x) = mx + n$ en un interval arbitrari $[a, b]$ és sempre constant i igual a $m$.
Demostra analíticament que la taxa de variació mitjana de qualsevol funció afí $f(x) = mx + n$ en un interval arbitrari $[a, b]$ és sempre constant i igual a $m$.