Exercicis: Terme general

Dada la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula els seus cinc primers termes.

Troba l'expressió del terme general de la següent successió aritmètica:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Troba l'expressió del terme general de la següent successió geomètrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Escriu el terme general $f_n$ de la següent successió de fraccions:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Donada la llei de recurrència $a_1 = 2$ i $a_n = 3a_{n-1} - 1$ per a $n \ge 2$, calcula els quatre primers termes de la successió.

Si el terme general d'una successió és $b_n = n^2 - 5n + 6$, esbrina quin valor exacte té el terme que ocupa la posició vintena ($b_{20}$).

Escriu el terme general d'una successió els termes de la qual són nombres enters consecutius però amb signes alternats:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Comprova matemàticament si el nombre $47$ pertany a la successió de terme general $c_n = 3n + 2$. En cas afirmatiu, indica quin lloc ocupa en aquesta successió.

En Marcos vol trobar el terme general de la successió de fraccions:

En el seu examen escriu la justificació següent:

«El numerador avança de 2 en 2 començant en 3, per tant és $2n+1$. El denominador són els quadrats de $2, 3, 4, 5\ldots$, per tant és $(n+1)^2$. Com que els signes van alternant entre positiu i negatiu, multiplico per $(-1)^n$. Per tant, el terme general és $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$».

1. a) Calcula els dos primers termes ($a_1$ i $a_2$) amb la fórmula d'en Marcos i identifica amb precisió l'error que ha comès.
2. b) Explica com s'ha de modificar l'exponent de la potència de base $-1$ per corregir el signe i escriu l'expressió correcta del terme general.
3. c) En Marcos afirma que el valor $-\frac{21}{121}$ pertany a aquesta successió i que ocupa una posició parella. Utilitza el terme general corregit per raonar si la seva afirmació és园 vertadera o falsa.

Dissenya l'expressió algebraica del terme general $a_n$ d'una successió que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. El primer terme ($n=1$) és negatiu i el signe va alternant entre cada terme i el següent.

2. Tots els seus termes són fraccions el valor absolut de les quals és estrictament menor que 1.

3. A mesura que l'índex $n$ creix, el valor absolut dels termes s'aproxima progressivament a 1 (és a dir, numerador i denominador es van acostant en valor absolut).

4. El nombre $-\frac{5}{6}$ pertany a la successió.

Un cop definida la teva fórmula:

1. a) Escriu els seus tres primers termes ($a_1, a_2, a_3$) per comprovar que es verifiquen les condicions 1, 2 i 3.
2. b) Planteja i resol l'equació que permet esbrinar quina posició $n$ ocupa el nombre $-\frac{5}{6}$, justificant per què el resultat garanteix que aquest valor pertany a la successió.

Una població d'algues microscòpiques en un llac controlat triplica la seva superfície coberta cada setmana. Si en la primera setmana (setmana $n=1$) cobreixen una superfície de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escriu el terme general $S_n$ que representa la superfície coberta al cap de $n$ setmanes.
2. b) Calcula quantes setmanes completes han de passar perquè la superfície coberta superi per primera vegada els $1000 \text{ m}^2$.

Troba el terme general $a_n$ de la següent successió combinant els patrons que regeixen el seu numerador i el seu denominador de manera independent:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Observa la següent seqüència de figures formades per hexàgons adjacents que comparteixen un o diversos costats. La Figura 1 està formada per 6 palets, la Figura 2 per 11 palets i la Figura 3 per 16 palets. Escriu el terme general del nombre de palets $P_n$ necessaris per construir la Figura $n$.

El valor de mercat d'un cotxe nou és de $24\,000$ €. S'estima que cada any perd un $15\,\%$ del seu valor respecte a l'any immediatament anterior. Troba el terme general $V_n$ que expressa el valor del cotxe al cap de $n$ anys (considerant $n=0$ el moment de la compra), i determina el seu valor estimat al cap de $5$ anys.

Dada la successió el terme general de la qual és $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, troba l'expressió del terme general de la successió diferència definida com a $d_n = a_{n+1} - a_n$ i simplifica el resultat al màxim.

Una successió recurrent es defineix mitjançant les condicions inicials $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ i la llei de recurrència $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ per a tot $n \ge 3$. Calcula els termes de la successió fins a $x_6$ i dedueix una fórmula explícita per al terme general $x_n$ en funció de potències de $2$.

Un atleta aficionat es prepara per a una mitja marató. El primer dia d'entrenament corre $5$ km, i decideix augmentar la distància diària en $500$ metres exactes respecte al dia anterior. Expressa el terme general $d_n$ de la distància en quilòmetres recorreguda el dia $n$. Quin dia del seu entrenament correrà exactament $15$ km?

Esbrina el terme general de la successió $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ i utilitza'l per calcular el valor exacte del terme que ocupa la cinquantena posició ($a_{50}$).

Considera la successió definida pel terme general $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Abans d'efectuar cap càlcul exacte, fes una estimació raonada del valor al qual s'aproximaran els termes de la successió quan la posició $n$ sigui extremadament gran (per exemple, per a $n = 10\,000$). Justifica en quins termes de la fracció et fixes i per què els altres amb prou feines influeixen en el resultat.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor exacte (en forma de fracció irreductible) i l'aproximació decimal amb tres xifres decimals per a $n = 1$, $n = 10$ i $n = 100$. Aquests valors numèrics recolzen la teva predicció inicial?
3. c) Planteja l'equació necessària per esbrinar si el nombre $2,5$ és exactament un terme de la successió. Resol-la i argumenta per què, malgrat l'estimació de l'apartat a, és impossible que $2,5$ en formi part.

Un atleta popular prepara a Madrid els 10 km de la cursa San Silvestre Vallecana seguint un pla d'entrenament de 16 setmanes. En la primera setmana ($n=1$) realitza una tirada llarga de $4 \text{ km}$. L'entrenador estableix una progressió base lineal que afegeix $0,5 \text{ km}$ per setmana (és a dir: $4 \text{ km}$ a la setmana 1, $4,5 \text{ km}$ a la setmana 2, $5 \text{ km}$ a la setmana 3, etc.). Tanmateix, per assimilar l'esforç muscular, introdueix una regla de descàrrega periòdica:

• Si la setmana $n$ és senar, l'atleta corre la distància íntegra fixada per la progressió base.

• Si la setmana $n$ és parella, l'atleta redueix en $1 \text{ km}$ la tirada que li correspondria segons la progressió base.

1. a) Modela la distància real $T_n$ (en quilòmetres) de la tirada de la setmana $n$ mitjançant una única fórmula explícita unificada, utilitzant una potència de base $-1$ per alternar l'ajust entre setmanes parelles i senars.
2. b) Determina algebraicament en quina setmana superarà per primera vegada els $9 \text{ km}$ en la seva tirada llarga.
3. c) Quants quilòmetres li correspondrà córrer en la setmana $n=16$, última setmana de càrrega abans de la prova?

Es construeix un fractal geomètric a partir d'un triangle equilàter d'àrea $A$. En cada pas, es uneixen els punts mitjans dels costats dels triangles no ombrejats per formar 4 triangles més petits, i s'ombreja exclusivament el central. Troba el terme general $T_n$ que expressa el nombre de nous triangles ombrejats que s'afegeixen en el pas $n$, i el terme general $A_n$ per a l'àrea d'un de sol d'aquests nous triangles afegits en el pas $n$.

Demostra matemàticament, estudiant el signe algebraic de la diferència $a_{n+1} - a_n$, si la successió $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ és estrictament creixent o estrictament decreixent.

Una pilota de goma es deixa caure des d'una altura inicial de $10$ metres. En cada rebot contra el terra, la pilota aconsegueix una altura igual a $\frac{3}{4}$ de l'altura màxima aconseguida en el rebot immediatament anterior. Escriu el terme general $h_n$ de l'altura aconseguida després del $n$-èsim rebot. Utilitzant logaritmes, determina després de quants rebots l'altura màxima serà per primera vegada inferior a $1$ metre.

Troba un únic terme general explícit $a_n$ per a la successió $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilitzant l'expressió $(-1)^n$ per unificar el comportament dispar que presenten els termes parells i els termes senars.

En una xarxa d'ordinadors, el nombre total de connexions directes possibles entre $n$ equips (si tots estan connectats físicament amb tots) forma una successió $C_n$. Sabent que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$ i $C_4 = 6$, determina el terme general $C_n$. A partir d'aquest, dedueix quants equips componen una xarxa que té exactament $1225$ connexions directes.

Es defineix la successió $a_n$ mitjançant la relació de recurrència $a_1 = 3$ i $a_n = 2a_{n-1} + 1$ per a $n \ge 2$. Per trobar el seu terme general explícit, defineix una nova successió auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demostra que $b_n$ és una progressió geomètrica, troba el seu terme general $b_n$ i, a partir d'aquest, dedueix el terme general de $a_n$.

Estudia l'acotació de la successió $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Per fer-ho, demostra algebraicament que la successió està acotada inferiorment per $\frac{7}{3}$ i superiorment per $\frac{5}{2}$.

S'inverteixen $5\,000$ € en un fons d'inversió que ofereix un interès compost anual del $4\,\%$. Tot i així, al final de cada any i després d'aplicar els interessos, l'entitat dedueix $50$ € fixos en concepte de comissions de gestió. Escriu la llei de recurrència per al capital $C_n$ acumulat al final de l'any $n$ (essent $C_0 = 5000$), i calcula el capital en els tres primers anys ($C_1, C_2, C_3$).

Una successió ve definida de forma recurrent mitjançant $a_1 = 2$ i $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ per a tot $n \geq 1$. Dos estudiants han de resoldre dues tasques: calcular el terme $a_3$ i esbrinar si el valor $\frac{1}{152}$ pertany a la successió.

• La Lucía proposa aplicar la recurrència successivament terme a terme fins a respondre a totes dues qüestions.

• En Sergio proposa calcular els primers quatre termes, estudiar la successió auxiliar dels seus inversos $b_n = \frac{1}{a_n}$ per trobar una regla general, deduir l'expressió explícita de $a_n$ en funció de $n$ i treballar a partir d'aquesta.

1. a) Desenvolupa el mètode d'en Sergio: troba $a_1, a_2, a_3, a_4$, escriu els valors corresponents de $b_n$, dedueix raonadament la fórmula del terme general explícit $a_n$ i comprova que coincideix amb els valors trobats.
2. b) Compara tots dos procediments per al càlcul exclusiu de $a_3$. Quin resulta més econòmic en temps i operacions per a aquest cas particular? Justifica la teva resposta.
3. c) Utilitza el terme general explícit per determinar amb rigor matemàtic si el nombre $\frac{1}{152}$ pertany a la successió. A continuació, raona per què el mètode de recurrència de la Lucía resultaria ineficient o inviable per respondre amb certesa a aquesta pregunta.

Es considera la successió els primers termes de la qual són:

1. a) Analitza la pauta que segueixen els termes situats en posicions senars ($n=1, 3, 5, \ldots$) i la que segueixen els situats en posicions parelles ($n=2, 4, 6, \ldots$). Escriu la llei que determina cada grup de termes en funció de l'índex global $n$.
2. b) Per expressar la successió en una única fórmula tancada sense recórrer a una funció definida a trossos, s'utilitzen «interruptors algebraics» construïts amb potències de base $-1$. Justifica quins valors prenen les expressions $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ i $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ segons la paritat de $n$, i utilitza-les per deduir una fórmula unificada i simplificada del terme general $a_n$.
3. c) Investiga algebraicament si el nombre 100 forma part d'aquesta successió. Planteja les equacions corresponents i raona quantes vegades i en quina posició o posicions exactes apareix aquest valor.