Sistemes d'inequacions lineals amb dues incògnites
Fins ara, la solució d'una inequació era un interval de la recta. Amb dues incògnites ($x$ i $y$), la solució ja no cap en una recta: és una regió del pla. Un sistema de diverses inequacions retalla aquesta regió fins a deixar, moltes vegades, un polígon: la regió factible, la base de la programació lineal que faràs servir en problemes d'optimització.
Una inequació amb dues incògnites és una regió
Atès el sistema d'inequacions lineals $x + y < 5$ i $2x - y \ge 0$, determina quins dels punts següents són solució del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ i…
Atès el sistema d'inequacions lineals $x + y < 5$ i $2x - y \ge 0$, determina quins dels punts següents són solució del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ i $D(4, 0)$.
Representa gràficament la inequació $2x - 3y \le 6$. A continuació, indica dos punts les coordenades dels quals pertanyin a la regió solució i dos punts que no hi…
Representa gràficament la inequació $2x - 3y \le 6$. A continuació, indica dos punts les coordenades dels quals pertanyin a la regió solució i dos punts que no hi pertanyin.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Representar la regió: la recta frontera i el semiplà
Per dibuixar la regió, primer es traça la recta frontera (com si la desigualtat fos una igualtat) i després es decideix, amb un punt de prova, quin costat ombrejar. La recta es dibuixa discontínua si la desigualtat és estricta ($<$ o $>$) i contínua si inclou l'igual.
A partir de la regió ombrejada a la figura, determina la inequació lineal amb dues incògnites que la defineix. Tingues en compte que la recta límit passa pels punts…
A partir de la regió ombrejada a la figura, determina la inequació lineal amb dues incògnites que la defineix. Tingues en compte que la recta límit passa pels punts $(0, 2)$ i $(3, 0)$ i que la regió inclou l'origen de coordenades.
Representa la regió del pla que compleix simultàniament les restriccions següents: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ i $y \le 3$.
Representa la regió del pla que compleix simultàniament les restriccions següents: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ i $y \le 3$.
Sistemes: la regió factible i els seus vèrtexs
Troba algebraicament les coordenades dels vèrtexs de la regió factible definida pel sistema d'inequacions següent: $x \ge 0$, $y \ge 0$ i $x + y \le 4$.
Troba algebraicament les coordenades dels vèrtexs de la regió factible definida pel sistema d'inequacions següent: $x \ge 0$, $y \ge 0$ i $x + y \le 4$.
Comprova de forma analítica si el punt $P(1, 2)$ pertany a la regió definida pel sistema d'inequacions: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ i $3x + 2y \ge 1$.
Comprova de forma analítica si el punt $P(1, 2)$ pertany a la regió definida pel sistema d'inequacions: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ i $3x + 2y \ge 1$.
Problemes: plantejar el sistema des d'un enunciat
L'ús principal d'aquest apartat és modelar una situació amb recursos limitats (hores, quilos, pressupost, aforament) com un sistema d'inequacions, i trobar la regió factible. És la base de la programació lineal.
Una pastisseria elabora dos tipus de pastissos, T1 i T2. El pastís T1 requereix $2$ hores de preparació i $1$ hora d'enfornada, mentre que el pastís T2 requereix $1$…
Una pastisseria elabora dos tipus de pastissos, T1 i T2. El pastís T1 requereix $2$ hores de preparació i $1$ hora d'enfornada, mentre que el pastís T2 requereix $1$ hora de preparació i $2$ hores d'enfornada. Es disposa d'un màxim de $10$ hores de preparació i $8$ hores d'enfornada al dia. Planteja el sistema d'inequacions que modelitza aquesta situació (considerant que les quantitats no poden ser negatives) i representa gràficament la regió de possibles produccions diàries.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Un agricultor disposa de $50$ hectàrees per plantar blat i ordi. La llavor de blat costa $20$ euros per hectàrea i la d'ordi $30$ euros per hectàrea. El pressupost màxim…
Un agricultor disposa de $50$ hectàrees per plantar blat i ordi. La llavor de blat costa $20$ euros per hectàrea i la d'ordi $30$ euros per hectàrea. El pressupost màxim per a llavors és de $1200$ euros. A més, per normatives mediambientals, la superfície d'ordi no pot superar el doble de la superfície de blat. Escriu el sistema d'inequacions associat i troba els vèrtexs de la regió factible.
Una refinaria produeix dos tipus d'aliatges, A i B. Per a l'aliatge A es necessiten $3$ kg de coure, $1$ kg de zinc i $2$ kg d'estany per unitat. Per a l'aliatge B, $1$…
Una refinaria produeix dos tipus d'aliatges, A i B. Per a l'aliatge A es necessiten $3$ kg de coure, $1$ kg de zinc i $2$ kg d'estany per unitat. Per a l'aliatge B, $1$ kg de coure, $2$ kg de zinc i $3$ kg d'estany. Al magatzem es disposa d'un màxim de $300$ kg de coure, $200$ kg de zinc i $240$ kg d'estany. Planteja el sistema d'inequacions que descriu les possibles produccions de tots dos aliatges, representa la regió factible i calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs.
Regions no acotades i casos especials
Considera la regió del pla definida per les inequacions $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ i $x - y \ge -2$. Demostra algebraicament que es tracta d'una regió fitada i…
Considera la regió del pla definida per les inequacions $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ i $x - y \ge -2$. Demostra algebraicament que es tracta d'una regió fitada i determina les coordenades dels vèrtexs que té aquesta regió.
Es dona el sistema d'inequacions $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ i $y \ge k$. Discuteix, en funció del paràmetre $k$, el nombre de vèrtexs que té la regió…
Es dona el sistema d'inequacions $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ i $y \ge k$. Discuteix, en funció del paràmetre $k$, el nombre de vèrtexs que té la regió factible. Per a quins valors de $k$ la regió factible es redueix al conjunt buit?