Regressió no lineal i causalitat

Els tres núvols de punts de la figura corresponen a tres estudis diferents. Per a cadascun d'ells, indica quin tipus de model sembla més adequat —lineal ($y = a + bx$), quadràtic ($y = a + bx + cx^2$) o exponencial ($y = a \cdot b^x$)— i justifica breument la teva elecció.

El nombre d'usuaris d'una aplicació creix de forma aproximadament exponencial: $y = a \cdot b^x$, on $x$ són els mesos transcorreguts. Prenent logaritmes neperians, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de manera que els parells $(x, \ln y)$ s'ajusten a una recta. Les dades linealitzades són:

1. a) Comprova que els quatre punts linealitzats estan exactament sobre una recta i troba la seva equació.

1. b) Dedueix els valors de $a$ i $b$ (expressa $a$ i $b$ com a potències de $e$ i aproxima-les amb dos decimals).

1. c) Estima el nombre d'usuaris al cap de $6$ mesos.

La superfície d'un llac coberta per una planta invasora s'ha mesurat durant $5$ mesos:

1. a) Representa els parells $(x, \ln y)$, comprova que s'alineen raonablement i ajusta una recta a les dades linealitzades (pren $\ln y$ amb dos decimals).

1. b) Escriu el model exponencial $y = a \cdot b^x$ corresponent i calcula el ritme de creixement mensual en percentatge.

1. c) Predeix la superfície coberta en el mes $8$ i, sabent que el llac té $1.500\ \text{m}^2$, comenta quin problema presenta extrapolar aquest model a llarg termini.

En un laboratori de Física es mesura el període $T$ d'un pèndol en funció de la seva longitud $L$, i es sospita una relació potencial $T = a \cdot L^b$. Prenent logaritmes, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Les dades linealitzades són:

1. a) Ajusta una recta a les dades linealitzades i escriu la seva equació.

1. b) Dedueix els valors de $a$ i $b$.

1. c) Compara el valor obtingut de $b$ amb el que prediu la Física, $b = \frac{1}{2}$, i comenta el resultat.

Es sospita que la variable $y$ depèn quadràticament de $x$. Amb les cinc dades de la taula

s'han calculat les sumes $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ i $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions que han de complir els coeficients de la paràbola de regressió $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Resol-lo i escriu l'equació de l'ajust quadràtic.

1. c) Estima el valor de $y$ per a $x = 5$ i comenta la fiabilitat d'aquesta predicció.

El consum d'un cotxe elèctric, en $\text{kWh}$ cada $100\ \text{km}$, s'ha mesurat a diferents velocitats i les dades apareixen a la figura:

1. a) Representa mentalment (o esbossa) el núvol de punts i raona per què un model quadràtic és més adequat que un de lineal.

1. b) Calcula les sumes necessàries $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ i planteja el sistema de l'ajust quadràtic.

1. c) Resol el sistema i escriu l'equació de la paràbola de regressió (arrodoneix els coeficients a quatre decimals).

1. d) Troba la velocitat de consum mínim segons el model i predeix el consum a $140\ \text{km/h}$, valorant la fiabilitat d'aquesta predicció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Raona si la següent afirmació és meitat/vertadera o falsa: «El coeficient de correlació entre les vendes de gelats i el nombre d'ofegaments en piscines és alt i positiu; per tant, vendre més gelats provoca més ofegaments». Si és falsa, explica l'error d'interpretació i anomena una variable que podria explicar totes dues coses alhora.

En diversos districtes d'una regió europea s'ha observat una correlació $r = 0,85$ entre el nombre de cigonyes censades i el nombre de naixements registrats.

1. a) Explica per què seria absurd concloure que les cigonyes «porten» els bebès, identificant el tipus de correlació que presenta aquest exemple.

1. b) Proposa una variable oculta plausible que expliqui la correlació i raona com actua sobre totes dues variables.

1. c) Dissenya breument quines dades recolliries i quin càlcul faries per desemmascarar la relació espúria.