Conjunts numèrics

Classifica els nombres següents indicant a quins dels conjunts numèrics $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertanyen (tingues en compte que un nombre pot pertànyer a diversos conjunts alhora):

$-5$, $3,14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, justificant breument la teva resposta:

1. a) Tot nombre enter és un nombre racional.
2. b) El nombre $0$ és un nombre irracional.
3. c) Tots els nombres decimals es poden expressar com a fracció.

Obtén la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals següents:

1. a) $2,45$
2. b) $1,\widehat{6}$
3. c) $0,1\widehat{25}$

Un arquitecte calcula la longitud d'un mur sumant dos trams les mesures teòriques dels quals són $L_1 = 2,\widehat{3}$ m i $L_2 = 1,1\widehat{6}$ m.

1. a) Calcula la longitud total exacta del mur operant amb les fraccions generatrius de tots dos nombres.
2. b) Expressa el resultat final com un nombre decimal.

Demostra, utilitzant el mètode de reducció a l'absurd, que $\sqrt{3}$ és un nombre irracional. (Suposa que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ on $p$ i $q$ són enters primers entre si, i arriba a una contradicció).

Sense utilitzar calculadora, determina si el resultat de les operacions següents és un nombre racional o irracional, desenvolupant les expressions algebraiques:

1. a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
3. c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

Escriu en forma d'interval i representa gràficament a la recta real el conjunt de nombres següent:

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dats els intervals $A = [-3, 4)$ i $B = (0, 7]$, determina en forma d'interval el resultat de les operacions següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$

Determina exactament quins nombres enters pertanyen a l'interval $(-2,5; 3]$. Expressa el resultat utilitzant notació de conjunts amb claus.

Ordena de menor a major els nombres reals següents. Per fer-ho, pots utilitzar la seva expressió decimal aproximada:

$3,14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3,1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$

Troba un nombre racional i un nombre irracional que estiguin compresos estrictament entre $1,5$ i $1,6$.

La propietat de densitat dels nombres racionals estableix que entre dos nombres racionals diferents sempre existeix un altre nombre racional. Demostra aquesta propietat trobant tres nombres racionals diferents compresos estrictament entre $\frac{4}{7}$ i $\frac{5}{7}$.