Funció exponencial
Un servidor al núvol escala el seu tràfic: cada hora que passa, el nombre de peticions es multiplica per un factor fix, no se li suma una quantitat constant. Un condensador es descarrega i la seva tensió cau multiplicant-se pel mateix factor en cada interval igual de temps. En tots dos casos la variable $t$ no és a la base, sinó a l'exponent, i això canvia per complet la manera de créixer o decréixer. Aquesta és la funció que formalitzaràs en aquest apartat.
La funció exponencial
Tota funció $f(x)=a^x$ passa pel punt fix $(0,1)$, perquè $a^0=1$, i per $(1,a)$, perquè $a^1=a$.
Entre totes les bases possibles, una exerceix un paper especial: el nombre $e\approx2{,}71828\ldots$, un irracional que apareix de manera natural en processos de creixement continu (interès compost amb capitalització instantània, desintegració radioactiva, càrrega i descàrrega de condensadors). La funció $f(x)=e^x$ és l'exponencial de referència en ciències i enginyeria, i la seva base s'escriu sempre així, sense aproximar, tret que el problema demani un valor numèric.
Donada la funció exponencial $f(x) = 3^x$, calcula els valors numèrics de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ i $f(\frac{1}{2})$. Expressa els resultats de forma exacta, utilitzant…
Donada la funció exponencial $f(x) = 3^x$, calcula els valors numèrics de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ i $f(\frac{1}{2})$. Expressa els resultats de forma exacta, utilitzant arrels o fraccions si fos necessari.
Troba l'expressió analítica d'una funció exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 12)$.
Troba l'expressió analítica d'una funció exponencial de la forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 12)$.
Determina el domini de definició de la funció següent: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determina el domini de definició de la funció següent:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Creixement i decreixement
La raó formal: en passar de $x$ a $x+1$, el valor es multiplica sempre per $a$, és a dir $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$ per a tot $x$. Si aquest factor constant és més gran que $1$, cada pas augmenta el valor; si és més petit que $1$, cada pas el redueix.
Classifica les funcions exponencials següents en creixents o decreixents, justificant la teva resposta en funció del valor de la seva base: $f(x) = 4^x$…
Classifica les funcions exponencials següents en creixents o decreixents, justificant la teva resposta en funció del valor de la seva base:
-
$f(x) = 4^x$
-
$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
-
$h(x) = 0,8^x$
-
$i(x) = e^x$
Relaciona cadascuna de les gràfiques etiquetades amb A, B, C i D a la figura següent amb la seva funció exponencial corresponent. Les funcions són: $f(x) = 2^x$,…
Relaciona cadascuna de les gràfiques etiquetades amb A, B, C i D a la figura següent amb la seva funció exponencial corresponent. Les funcions són: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ i $i(x) = -2^x$.
A la gràfica adjunta es mostren les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$, juntament amb la recta horitzontal $y = e$. Determina analíticament les coordenades del punt…
A la gràfica adjunta es mostren les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$, juntament amb la recta horitzontal $y = e$.
Determina analíticament les coordenades del punt de tall entre les funcions $f(x)$ i $g(x)$. A continuació, calcula l'àrea exacta del triangle els vèrtexs del qual són aquest punt d'intersecció i els dos punts on les corbes tallen la recta $y = e$.
Domini, recorregut i asímptota horitzontal
En traslladar la gràfica, l'asímptota es trasllada amb ella, i es pot calcular amb rigor estudiant el límit. En $g(x)=a^{x-p}+q$:
-
L'exponent $x-p$ desplaça la corba $p$ unitats en horitzontal.
-
El $+q$ final la desplaça $q$ unitats en vertical.
Si $a>1$, quan $x\to-\infty$ el terme $a^{x-p}\to0^+$, de manera que $$\lim_{x\to-\infty} \left(a^{x-p}+q\right) = q.$$ La nova asímptota horitzontal és, per tant, $y=q$. (Si $0 Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = 2^x - 5$. Calcula analíticament les coordenades dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica detalladament quines transformacions geomètriques s'han d'aplicar a la seva gràfica per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de $g(x)$.Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = 2^x - 5$.
Calcula analíticament les coordenades dels punts de tall amb l'eix d'abscisses i amb l'eix d'ordenades de la funció $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica detalladament quines transformacions geomètriques s'han d'aplicar a la seva gràfica per obtenir la gràfica de la funció…
Equacions exponencials
Hi ha quatre tècniques bàsiques, de la més senzilla a la més general.
Resol la següent equació exponencial igualant les bases a tots dos costats de la igualtat: $5^{2x-1} = 125$
Resol la següent equació exponencial igualant les bases a tots dos costats de la igualtat:
$5^{2x-1} = 125$
Resol la següent equació exponencial fent un canvi de variable adequat: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resol la següent equació exponencial fent un canvi de variable adequat:
$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resol la següent equació exponencial aplicant logaritmes: $4^{x-1} = 15$ Expressa el resultat de forma exacta utilitzant logaritmes i proporciona també una aproximació…
Resol la següent equació exponencial aplicant logaritmes:
$4^{x-1} = 15$
Expressa el resultat de forma exacta utilitzant logaritmes i proporciona també una aproximació arrodonida a dues xifres decimals.
Models de creixement i decaïment
L'interès compost amb molts períodes de capitalització a l'any tendeix, quan el nombre de períodes creix sense límit, a l'interès compost continu: $C(t)=C_0\cdot e^{rt}$. És la mateixa idea que la llei de refredament de Newton o la desintegració radioactiva mesurada amb la constant $k$ en lloc de amb la semivida: totes comparteixen la forma $e^{\pm kt}$.
Una població de bacteris es duplica cada hora. Si inicialment al cultiu hi ha $150$ bacteris, escriu la funció $P(t)$ que modelitza el nombre de bacteris en funció del…
Una població de bacteris es duplica cada hora. Si inicialment al cultiu hi ha $150$ bacteris, escriu la funció $P(t)$ que modelitza el nombre de bacteris en funció del temps $t$ (expressat en hores). Quants bacteris hi haurà al cultiu al cap de $4$ hores?
S'inverteixen $5000$ euros en un dipòsit bancari que ofereix un interès compost anual del $3\%$. Escriu la funció que determina el capital acumulat $C(t)$ al cap de $t$…
S'inverteixen $5000$ euros en un dipòsit bancari que ofereix un interès compost anual del $3\%$.
-
Escriu la funció que determina el capital acumulat $C(t)$ al cap de $t$ anys.
-
Calcula el capital total que s'haurà acumulat després de $10$ anys.
Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'un objecte en un instant $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, on $T_a$…
Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'un objecte en un instant $t$ (en minuts) ve donada per l'expressió $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, on $T_a$ és la temperatura ambient i $T_0$ la temperatura inicial de l'objecte. Una tassa de cafè a $90^\circ\text{C}$ es deixa en una habitació que es manté a una temperatura constant de $20^\circ\text{C}$. Si després de $10$ minuts la temperatura del cafè ha baixat a $60^\circ\text{C}$:
-
Calcula el valor exacte de la constant de refredament $k$.
-
Determina el temps total transcorregut des de l'inici perquè el cafè assoleixi una temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Torna al principi: Si el tràfic del servidor parteix de $N_0$ peticions i es multiplica per $k$ cada hora, la seva evolució és $N(t) = N_0 \cdot k^t$; de la mateixa manera, si la tensió del condensador cau dividint-se per la meitat cada segon, respon al model decreixent $V(t) = V_0 \cdot (1/2)^t$.