Aproximació i errors

Arrodona i trunca el nombre $\frac{17}{6}$ a les mil·lèsimes. Calcula l'error absolut en totes dues aproximacions i indica de forma meys precisa/justificada quina de les dues és més precisa.

S'ha aproximat el nombre irracional $\pi$ prenent el valor $3,14$. És una aproximació per defecte o per excés? Justifica la teva resposta i troba una cota per a l'error absolut comès.

En mesurar la longitud d'una taula de $1,25$ m, s'ha obtingut un valor de $1,28$ m. D'altra banda, en mesurar la distància entre dues ciutats de $245$ km, s'ha obtingut un valor de $246$ km. Calcula l'error relatiu en totes dues mesures i determina quina de les dues és més precisa.

El nombre auri $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ s'aproxima freqüentment en disseny gràfic pel valor $1,618$. Calcula l'error absolut i l'error relatiu d'aquesta aproximació, utilitzant per al valor exacte totes les xifres de la teva calculadora. Expressa l'error relatiu en forma de percentatge.

Escriu el nombre $0,000045602$ en notació científica deixant exactament tres xifres significatives. A continuació, indica una cota de l'error absolut comès en realitzar aquesta aproximació.

Determina l'interval real en què es troba el valor exacte d'una mesura $x$ si sabem que la seva aproximació és $5,4$ i la cota d'error absolut és $E_a < 0,05$.

Un termòmetre digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantint un error relatiu menor del $0,2\%$. Quin és l'error absolut màxim que pot estar cometent el dispositiu?

En aproximar un nombre real $x$ pel valor $3,14$ es comet un error absolut menor que $0,005$. En aproximar un altre nombre real $y$ pel valor $2,71$ es comet també un error absolut menor que $0,005$. Determina l'interval d'error garantit per a la suma $x + y$ i per a la diferència $x - y$.

Demostra algebraicament que si dos nombres reals i positius $x$ i $y$ s'aproximen mitjançant $x_0$ i $y_0$ amb un error relatiu menor que $\varepsilon$ en tots dos casos, aleshores l'error relatiu del producte $x \cdot y$ està acotat aproximadament per $2\varepsilon$ (pots negligir els termes d'ordre superior a $\varepsilon$, és a dir, els termes que continguin $\varepsilon^2$).

La llei de gravitació universal ve donada per l'expressió $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experiment mesurem les masses $m_1, m_2$ i la distància $d$ cometent un error relatiu màxim del $2\%$ en cadascuna de les tres magnituds, i considerem la constant $G$ com un valor matemàtic exacte, determina de manera justificada la cota de l'error relatiu màxim que es cometria en calcular la força $F$.

Es vol enrajolar una habitació de planta rectangular. Les mesures aproximades dels costats, preses amb una cinta mètrica, són $a = 4,2$ m i $b = 3,5$ m. Sabent que l'instrument introdueix un error màxim de $0,05$ m en cada mesura, calcula l'àrea nominal de l'habitació i determina l'interval estricte de valors reals en què es troba aquesta àrea.

Es fabrica una peça esfèrica d'acer massís per a un rodament industrial. El calibre digital utilitzat indica que el radi és $r = 12,5$ mm, amb un marge d'error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volum nominal de l'esfera i demostra analíticament quin és el màxim error absolut i el màxim error relatiu que es propaga al càlcul del volum.

En un projecte de topografia, es mesuren els dos catets d'un terreny amb forma de triangle rectangle, i s'obté $c_1 = 30,0$ m i $c_2 = 40,0$ m. La precisió de l'instrument topogràfic garanteix un error relatiu menor del $1\%$ en cada longitud lineal mesurada. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ i acota l'error absolut i l'error relatiu màxim que es pot cometre en calcular-la indirectament.