El mètode de Gauss

Resol el sistema d'equacions lineals següent, que ja es troba en forma esglaonada, utilitzant el mètode de substitució enrere:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Resol el sistema següent en què falten algunes incògnites a les equacions, ordenant-les adequadament si ho consideres necessari:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Troba el valor del coeficient $a$ sabent que la terna $(1, -1, 2)$ és solució del sistema següent:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Aplica el mètode de Gauss per triangular i resoldre el sistema d'equacions següent:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Resol el sistema següent utilitzant el mètode de Gauss, eliminant primer la variable $x$ de la segona i tercera equació:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Resol el sistema d'equacions lineals següent, operant prèviament amb les fraccions per obtenir un sistema equivalent amb coeficients enters:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Sense necessitat de resoldre'l completament, classifica el sistema esglaonat següent (com a compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) i justifica la teva resposta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escriu la solució del sistema esglaonat següent en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Resol el sistema següent que conté quatre equacions i tres incògnites. Indica si hi ha cap equació redundant o si el sistema és incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Discuteix la compatibilitat del sistema d'equacions lineals següent en funció del paràmetre $k$ i resol-lo per al cas en què sigui compatible indeterminat:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Estudia i discuteix el sistema d'equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre $m$. Resol-lo per a $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

Discuteix el sistema següent i troba el valor o valors de $a$ per als quals el sistema és compatible indeterminat. Escriu la solució general per a aquest cas.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Geomètricament, una equació lineal amb tres incògnites representa un pla a l'espai. Resol el sistema format pels plans $\pi_1$, $\pi_2$ i $\pi_3$, interpreta el resultat obtingut i indica quina figura geomètrica formen en la seva intersecció.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

Demostra, utilitzant el mètode de Gauss, que el sistema d'equacions:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

només és compatible si es compleix la relació $a + b = c$. Explica el significat algebraic d'aquesta condició.