Coeficient de correlació lineal

En un estudi sobre el rendiment de panells solars, s'ha calculat que la covariància entre la radiació solar rebuda ($X$) i l'energia generada ($Y$) és $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabent que les desviacions típiques són $\sigma_x = 4,0$ i $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson i interpreta el resultat.

Classifica la força (forta, moderada o dèbil/nul·la) i el sentit (positiva o negativa) de la correlació lineal per a cadascun dels coeficients següents obtinguts en diferents estudis estadístics:

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

En un estudi d'agronomia, s'ha calculat que el coeficient de correlació lineal entre la temperatura mitjana mensual en graus Celsius ($C$) i la producció d'un conreu en tones ($P$) és $r = 0,82$. Si decidim expressar la temperatura en graus Fahrenheit utilitzant la fórmula $F = 1,8C + 32$ i la producció en quilograms mitjançant $K = 1000P$, quin serà el nou coeficient de correlació entre $F$ i $K$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats matemàtiques d'aquest coeficient.

Donades dues variables estadístiques $X$ i $Y$, es defineixen les seves corresponents variables tipificades com a $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ i $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demostra pas a pas que la covariància entre les variables tipificades, $\sigma_{z_x z_y}$, és exactament igual al coeficient de correlació lineal $r_{xy}$ de les variables originals.

Sigui una distribució bidimensional $(X, Y)$ on la variable $Y$ s'obté a partir de la variable $X$ mitjançant la transformació afí $Y = -4X + 7$, amb $X$ no constant ($\sigma_x > 0$). Demostra analíticament, utilitzant les definicions algebraiques de la covariància i la desviació típica, que el coeficient de correlació lineal entre $X$ i $Y$ és exactament $-1$.

El diagrama de dispersió següent representa la relació entre la temperatura d'un reactor químic ($X$, centrada en 0) i el rendiment de la reacció ($Y$). Els punts registrats són $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ i $(2, 4)$.

1. a) Calcula el coeficient de correlació lineal de Pearson per a aquestes dades.
2. b) A la vista del resultat matemàtic i del gràfic adjunt, explica detalladament per què el coeficient de correlació pren aquest valor tot i que existeix una dependència funcional exacta ($y = x^2$) entre les variables.

Un entrenador de bàsquet analitza els minuts jugats ($X$) i els punts anotats ($Y$) per 6 dels seus jugadors en un partit, i obté els parells de dades següents: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calcula el coeficient de determinació $R^2$ i explica quin percentatge de la variabilitat dels punts anotats queda explicada linealment pels minuts jugats.

El coeficient de determinació d'un model matemàtic que relaciona l'edat d'un vehicle comercial ($X$, en anys) amb el seu valor de mercat ($Y$, en euros) és $R^2 = 0,7225$. Sabent que com més edat té el vehicle més disminueix el seu valor, quin és el valor exacte del coeficient de correlació lineal $r$?