Funció logarítmica

Determina el domini de definició de la funció logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expressa el resultat utilitzant intervals.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Para especial atenció als punts que anul·len el numerador, el denominador i l'argument del logaritme.

Utilitzant les propietats dels logaritmes, desenvolupa la següent expressió per escriure-la com a suma i resta de logaritmes més senzills:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan el següent sistema d'equacions no lineals:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Troba els punts de tall amb els eixos coordenats (eix X i eix Y, si n'hi ha) de la funció $g(x) = \ln(x - 2)$.

Donada la funció $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indica raonadament si és una funció creixent o decreixent en tot el seu domini i calcula el valor exacte de $h(1)$ i $h(4)$.

Descriu de forma precisa quines transformacions geomètriques (desplaçaments) s'han d'aplicar a la gràfica de la funció elemental $f(x) = \ln(x)$ per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Escriu l'expressió analítica de la funció inversa (o recíproca) $f^{-1}(x)$ de la funció exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

A partir de la representació gràfica següent de la funció $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determina analíticament el seu domini, el seu recorregut, l'equació de la seva asímptota vertical i les coordenades exactes dels punts de tall amb els eixos X i Y.

Analitza la relació de simetria entre les funcions $f(x) = e^{x-1}$ i $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa la gràfica adjunta que mostra totes dues corbes i la bisectriu del primer quadrant. Demostra analíticament que són funcions inverses calculant la composició $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$.

Resol la següent equació logarítmica aplicant la definició de logaritme:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Resol la següent equació logarítmica, comprovant la validesa de les solucions obtingudes:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Resol la següent equació logarítmica. Assegura't de comprovar les possibles solucions en l'equació original per descartar arrels falses:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

En química, el pH d'una dissolució es defineix mitjançant l'expressió $pH = -\log[H^+]$, on $[H^+]$ representa la concentració d'ions d'hidrogen en mols per litre. Calcula el pH d'un suc de taronja la concentració d'ions d'hidrogen del qual és $[H^+] = 10^{-3,2}$.

El nivell d'intensitat sonora $\beta$, mesurat en decibels (dB), es calcula mitjançant la fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat del so en $\text{W/m}^2$ i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ és el llindar estàndard d'audició. Si l'enlairament d'un avió a reacció genera un nivell de soroll de $140 \text{ dB}$, quina és la intensitat $I$ d'aquest so en $\text{W/m}^2$?

A l'escala sismològica de Richter, la magnitud $M$ d'un terratrèmol es relaciona amb l'energia alliberada $E$ (en ergis) mitjançant l'equació empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcula quantes vegades és més gran l'energia alliberada per un terratrèmol de magnitud $7,0$ en comparació amb l'energia alliberada per un de magnitud $5,0$.