Raons de l'angle doble
Un canó dispara un projectil: l'abast depèn de $\sin(2\theta)$, no de $\theta$ sol. Una coberta industrial duplica la inclinació d'una altra. En enginyeria, l'angle doble apareix tot el temps, i convé tenir les seves raons trigonomètriques ja «empaquetades» en una fórmula, sense haver de sumar l'angle amb ell mateix cada vegada.
D'on surten les fórmules
Ja coneixes les fórmules del sinus i el cosinus d'una suma. L'angle doble és només el cas particular $2\alpha = \alpha+\alpha$: n'hi ha prou de substituir $\beta$ per $\alpha$.
El cosinus de l'angle doble té tres formes equivalents: totes valen el mateix, usa la que combini millor amb les dades que tinguis (només $\cos\alpha$, només $\sin\alpha$, o tots dos).
Simplifica la següent expressió trigonomètrica a un únic valor numèric exacte: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifica la següent expressió trigonomètrica a un únic valor numèric exacte:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Sabent que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilitzant exclusivament la identitat que relaciona el cosinus de l'angle doble amb el cosinus de l'angle…
Sabent que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilitzant exclusivament la identitat que relaciona el cosinus de l'angle doble amb el cosinus de l'angle simple.
Amb una sola raó coneguda
Si només coneixes $\sin\alpha$ o $\cos\alpha$ (i el quadrant), pots trobar l'altra raó amb la identitat fonamental $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, i després aplicar la fórmula de l'angle doble.
Sabent que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha)$.
Sabent que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ i que $\alpha$ és un angle del primer quadrant, calcula el valor exacte de $\sin(2\alpha)$.
Atès que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, determina el valor exacte de $\cos(2\alpha)$.
Atès que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, determina el valor exacte de $\cos(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expressant el resultat com una fracció irreductible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expressant el resultat com una fracció irreductible.
Simplificar expressions
Moltes expressions amb producte de sinus i cosinus, o amb diferències de quadrats, són en realitat una fórmula de l'angle doble disfressada. Reconèixer el patró estalvia calculadora.
Calcula el valor exacte de la següent expressió sense utilitzar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcula el valor exacte de la següent expressió sense utilitzar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Escriu la següent expressió en funció d'una única raó trigonomètrica de l'angle $x$, simplificant al màxim: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escriu la següent expressió en funció d'una única raó trigonomètrica de l'angle $x$, simplificant al màxim:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Troba el valor exacte de la següent operació utilitzant les identitats de l'angle doble: $\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$
Troba el valor exacte de la següent operació utilitzant les identitats de l'angle doble:
$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$
Equacions amb l'angle doble
Quan una equació barreja $\sin(2x)$ (o $\cos(2x)$) amb raons de $x$ sense doblar, el primer pas és substituir la fórmula de l'angle doble per deixar-ho tot en funció del mateix angle.
Resol la següent equació trigonomètrica, trobant totes les solucions en l'interval $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resol la següent equació trigonomètrica, trobant totes les solucions en l'interval $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resol la següent equació trigonomètrica i dona les solucions en graus per a l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resol la següent equació trigonomètrica i dona les solucions en graus per a l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Aplicacions tècniques
L'angle doble apareix en l'abast de projectils, en pendents de cobertes que dupliquen una inclinació de referència, i en mecanismes articulats.
En la construcció d'una nau industrial, s'han dissenyat dues cobertes contigües. La primera coberta té una inclinació $\alpha$ respecte a la horitzontal tal que…
En la construcció d'una nau industrial, s'han dissenyat dues cobertes contigües. La primera coberta té una inclinació $\alpha$ respecte a la horitzontal tal que $\tan(\alpha) = 0,4$. Per motius de drenatge d'aigua, la segona coberta s'ha dissenyat amb un angle d'inclinació que és exactament el doble que el de la primera, és a dir, $2\alpha$. Calcula el pendent exacte (tangent) de la segona coberta.
En física, l'abast màxim $R$ d'un projectil llançat sobre un terreny horitzontal es modela mitjançant la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, on $v_0$ és la…
En física, l'abast màxim $R$ d'un projectil llançat sobre un terreny horitzontal es modela mitjançant la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, on $v_0$ és la velocitat inicial, $\theta$ és l'angle de llançament i $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ és l'acceleració de la gravetat. Si un canó de proves dispara un projectil amb una velocitat inicial de $30 \text{ m/s}$ i es vol aconseguir un objectiu situat a $45 \text{ m}$ de distància, troba els possibles angles de llançament $\theta$ en graus.