Interpretació gràfica de la derivada
Si coneixes $f'(a)$ ja saps moltíssim sobre la gràfica de $f$ a prop de $x=a$: el seu pendent exacte, si puja o baixa, i pots dibuixar la recta que millor l'aproxima en aquest punt. Aquest apartat connecta el nombre $f'(a)$ amb el dibuix.
La derivada com a pendent de la tangent
Calcula l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 3$.
Calcula l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 3$.
La recta normal: perpendicular a la tangent
Determina l'equació de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 2x$ en el punt d'abscissa $x = -1$.
Determina l'equació de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 2x$ en el punt d'abscissa $x = -1$.
Un raig de llum incideix sobre un mirall parabòlic la secció transversal del qual respon a la funció $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el raig impacta en el punt d'abscissa…
Un raig de llum incideix sobre un mirall parabòlic la secció transversal del qual respon a la funció $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el raig impacta en el punt d'abscissa $x = 2$, troba l'equació de la recta normal a la superfície en aquest punt (la qual és fonamental en òptica geomètrica per calcular l'angle de reflexió).
Llegir el signe de $f'(x)$ en una gràfica
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la recta tangent traçada en el punt d'abscissa $x = 1$. A partir de les coordenades dels punts $A$ i $B$ indicats sobre la…
Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la recta tangent traçada en el punt d'abscissa $x = 1$. A partir de les coordenades dels punts $A$ i $B$ indicats sobre la recta, determina el valor de la derivada $f'(1)$.
Observa la gràfica de la funció polinòmica $f(x)$. Sense calcular la seva expressió analítica, determina el signe de la derivada $f'(x)$ en els punts d'abscissa…
Observa la gràfica de la funció polinòmica $f(x)$. Sense calcular la seva expressió analítica, determina el signe de la derivada $f'(x)$ en els punts d'abscissa $x = -2$, $x = 0$ i $x = 2$, indicant si en aquests punts la funció és creixent o decreixent.
De la gràfica de $f'$ a la gràfica de $f$
Un tipus d'exercici freqüent dona la gràfica de $f'(x)$, no la de $f(x)$, i demana deduir com és $f$: on creix, on decreix i on té extrems.
La figura mostra la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ d'una certa funció polinòmica $f(x)$. A partir d'aquesta, determina analíticament els intervals de creixement i…
La figura mostra la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ d'una certa funció polinòmica $f(x)$. A partir d'aquesta, determina analíticament els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$, i indica les abscisses en què $f(x)$ presenta els seus extrems relatius.
La figura representa la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ (composta per dos segments rectes) d'una funció contínua $f(x)$. Basant-te exclusivament en aquesta…
La figura representa la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ (composta per dos segments rectes) d'una funció contínua $f(x)$. Basant-te exclusivament en aquesta gràfica, identifica les abscisses dels extrems relatius de $f(x)$ classificant-los en màxims o mínims, i indica l'abscissa del punt d'inflexió de la funció original.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Rectes tangents amb condicions
De vegades no es demana directament $f'(a)$, sinó trobar tangents que compleixin una condició: ser paral·leles a una recta donada, passar per un punt que no és a la corba, o ajustar paràmetres perquè la gràfica passi per certs punts amb un pendent concret.
Un arquitecte està dissenyant l'arc principal d'un pont que segueix la forma d'una paràbola d'equació $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que l'arc passa pel punt $(0, 5)$ i…
Un arquitecte està dissenyant l'arc principal d'un pont que segueix la forma d'una paràbola d'equació $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que l'arc passa pel punt $(0, 5)$ i que en el punt $(2, 9)$ la recta tangent té per equació $y = 4x + 1$. Calcula els valors exactes dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que passen per l'origen de coordenades $(0,0)$. Nota: tingues en compte que l'origen no…
Troba les equacions de totes les rectes tangents a la corba $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que passen per l'origen de coordenades $(0,0)$. Nota: tingues en compte que l'origen no pertany a la corba.