A 4t d'ESO ja vas treballar amb polinomis: sumar-los, multiplicar-los, dividir-los amb Ruffini. A 1r de Batxillerat aquestes eines es tornen més generals i més útils: serveixen per modelar el benefici d'una empresa, la trajectòria d'un dron o la resistència d'un circuit, i per resoldre equacions de grau alt que d'una altra manera serien impossibles d'atacar. Aquest apartat repassa el terreny comú i anuncia, a cada secció, on s'aprofundeix cada idea.
Un polinomi en $x$ és una suma de termes $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, amb els $a_i$ nombres reals (els coeficients) i els exponents naturals. El grau és el major exponent amb coeficient no nul; $a_n$ és el coeficient principal i $a_0$ el terme independent.
Sumar o restar polinomis és reduir els termes semblants (mateix grau). Multiplicar és aplicar la propietat distributiva: cada terme del primer per cada terme del segon, i després reduir.
Practica★☆☆Sense començar
Siguin els polinomis $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ i $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomi resultant de l'operació $2P(x) - Q(x)$ i expressa el resultat…
Siguin els polinomis $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ i $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomi resultant de l'operació $2P(x) - Q(x)$ i expressa el resultat ordenat de major a menor grau.
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ dona un quocient $C(x)$ i un residu $R(x)$ amb $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$, sempre amb el residu de grau menor que el divisor (o nul). L'algorisme és igual que una divisió llarga de nombres: es divideix el terme de major grau, es multiplica i es resta, i es repeteix amb el que queda.
Practica★☆☆Sense començar
Fes la divisió de polinomis següent i indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$: $(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
Fes la divisió de polinomis següent i indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$:
En la divisió del polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de la divisió sigui un…
En la divisió del polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè el residu de la divisió sigui un nombre constant (és a dir, un polinomi de grau 0). Quin és el valor exacte d'aquest residu?
Un drecera quan el divisor és $x-a$: la regla de Ruffini
Si el divisor té grau $1$ i és de la forma $x-a$, no cal muntar la divisió llarga: la regla de Ruffini treballa només amb els coeficients i és molt més ràpida. L'apartat següent la desenvolupa a fons; aquí n'hi ha prou amb reconèixer quan es pot fer servir.
Practica★☆☆Sense començar
Utilitza la regla de Ruffini per efectuar la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomi $x + 2$. Indica el quocient i el residu.
Utilitza la regla de Ruffini per efectuar la divisió del polinomi $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomi $x + 2$. Indica el quocient i el residu.
Abans de dividir, convé saber si val la pena: el teorema del residu diu que el residu de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ és, directament, $P(a)$. I el teorema del factor diu que $(x-a)$ és un factor de $P(x)$ exactament quan $P(a)=0$, és a dir, quan $a$ és arrel. Tots dos s'amplien en els apartats "Teorema del residu" i "Factorització".
Practica★☆☆Sense començar
Aplica el teorema del residu per calcular el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sense necessitat de fer la divisió…
Aplica el teorema del residu per calcular el residu de la divisió del polinomi $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sense necessitat de fer la divisió completa.
Utilitzant el teorema del factor, comprova si els valors $x = 2$ i $x = -1$ són arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica la teva resposta mostrant els…
Utilitzant el teorema del factor, comprova si els valors $x = 2$ i $x = -1$ són arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.
De tornada a allò conegut: factor comú, identitats i fraccions
Factoritzar continua començant igual que a 4t: primer factor comú, després identitats notables. I una fracció algebraica se simplifica igual que una fracció numèrica, cancel·lant els factors que numerador i denominador tenen en comú.
Practica★☆☆Sense començar
Treu el factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar completament el polinomi $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Treu el factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar completament el polinomi $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Moltes situacions —beneficis, volums, senyals— es descriuen amb un polinomi que té algun paràmetre desconegut. Les condicions del problema (un valor conegut, un residu exacte) es tradueixen en equacions que permeten trobar aquest paràmetre.
Practica★★☆Sense començar
Els beneficis diaris d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, on $x$ és el dia de la setmana (de 1 a 7). Es…
Els beneficis diaris d'una empresa, en milers d'euros, es modelitzen mitjançant el polinomi $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, on $x$ és el dia de la setmana (de 1 a 7). Es sap que el dia 1 el benefici és zero. A més, en dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residu és $2$. Calcula els paràmetres $a$ i $b$, i factoritza el polinomi per determinar en quin altre dia de la setmana el benefici torna a ser exactament zero.
Una empresa d'embalatges dissenya caixes rectangulars sense tapa a partir d'una planxa de cartró de $30 \text{ cm}$ per $20 \text{ cm}$. Per fer-ho, retallen quadrats de…
Una empresa d'embalatges dissenya caixes rectangulars sense tapa a partir d'una planxa de cartró de $30 \text{ cm}$ per $20 \text{ cm}$. Per fer-ho, retallen quadrats de costat $x$ a cada cantó i pleguen les vores cap amunt. Expressa el volum $V(x)$ de la caixa com un polinomi en forma estàndard (desenvolupat). Després, calcula el volum exacte si es retallen quadrats de $x = 4 \text{ cm}$.
La corba de dilatació tèrmica d'un nou polímer s'aproxima mitjançant un polinomi cúbic $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En els assajos de laboratori s'ha comprovat que a…
La corba de dilatació tèrmica d'un nou polímer s'aproxima mitjançant un polinomi cúbic $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En els assajos de laboratori s'ha comprovat que a les temperatures $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ i $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatació és nul·la. Tanmateix, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatació és de $2 \text{ mm}$. Determina el valor dels coeficients $a, b, c, d$ del polinomi.