Funció de proporcionalitat inversa

Sabent que la funció $f(x) = \frac{k}{x}$ passa pel punt $(2, 6)$, troba el valor de la constant $k$ i calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

Calcula els límits de la funció $g(x) = \frac{-5}{x}$ quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$. Interpreta geomètricament el resultat.

El temps $t$ (en hores) que es triga a recórrer una distància de $120$ km en funció de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) ve donat per $t(v) = \frac{120}{v}$. Calcula el límit de $t(v)$ quan $v \to +\infty$ i explica el seu significat físic.

Per organitzar una excursió, el cost del lloguer de l'autobús és de $600$ euros, que es repartirà a parts iguals entre els assistents. La funció que defineix el cost per persona en funció del nombre d'assistents $x$ és $C(x) = \frac{600}{x}$.

Calcula $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} C(x)$. Interpreta tots dos resultats en el context del problema.

Troba l'equació de l'asímptota horitzontal i l'asímptota vertical de la funció homogràfica $h(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.

Donada la funció $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$:

1. a) Calcula els punts de tall amb els eixos coordenats.
2. b) Troba les equacions de les seves asímptotes avaluant els límits corresponents.

A partir de la funció de proporcionalitat inversa bàsica $f(x) = \frac{1}{x}$, s'aplica una translació de $3$ unitats cap a la dreta i $2$ unitats cap amunt per obtenir una nova funció $g(x)$.

1. a) Escriu l'expressió analítica de $g(x)$ en la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$.
2. b) Demostra, mitjançant el càlcul de límits, que les asímptotes de $g(x)$ coincideixen amb els desplaçaments aplicats als eixos coordenats.

Determina el domini i estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. Es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa pura? Justifica la teva resposta calculant el límit quan $x \to 2$.

Es vol construir un rectangle d'àrea fixa igual a $36 \text{ cm}^2$. Si anomenem $x$ la longitud de la base, el perímetre del rectangle en funció de $x$ ve donat per $P(x) = 2x + \frac{72}{x}$.

1. a) Calcula $\lim_{x \to 0^+} P(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} P(x)$.
2. b) Interpreta geomètricament quina forma adquireix el rectangle en cadascun d'aquests dos casos límit i per què el perímetre tendeix a infinit en totes dues situacions.