Funció amb arrels
Un enginyer calcula la freqüència natural de vibració d'una biga amb una fórmula que porta una arrel quadrada sota la qual hi ha una expressió amb la rigidesa i la massa del material. Si aquesta expressió surt negativa per a certs valors, la fórmula no té sentit físic: aquesta combinació de material i geometria no existeix. A Batxillerat no n'hi ha prou de dir "el radicand no pot ser negatiu": cal resoldre la inequació corresponent amb rigor, per complexa que sigui, i donar el domini exacte en forma d'interval.
Domini amb índex parell: resoldre la inequació del radicand
Si $g(x)$ és de segon grau, la inequació no sempre dona una semirecta.
Determina el domini de definició de la funció següent amb arrel d'índex parell: $f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Determina el domini de definició de la funció següent amb arrel d'índex parell:
$f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Troba el domini de la funció quadràtica sota una arrel quadrada: $h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Troba el domini de la funció quadràtica sota una arrel quadrada:
$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Calcula el domini de la funció que conté una arrel d'índex parell al denominador: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Calcula el domini de la funció que conté una arrel d'índex parell al denominador:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Domini amb índex senar: no hi ha restricció
Calcula el domini de definició de la funció amb arrel d'índex senar: $g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Calcula el domini de definició de la funció amb arrel d'índex senar:
$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Domini en expressions compostes: fraccions, sumes i arrels niuades
Troba el domini de la funció irracional que conté una expressió racional: $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Troba el domini de la funció irracional que conté una expressió racional:
$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Troba el domini de definició de la funció formada per la suma de dues arrels: $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Troba el domini de definició de la funció formada per la suma de dues arrels:
$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Resol la inequació associada al domini de la funció $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ i expressa-ho en forma d'interval.
Resol la inequació associada al domini de la funció $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ i expressa-ho en forma d'interval.
Forma de la gràfica, recorregut i translacions
A partir de la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ la gràfica de la qual s'obté en desplaçar $f(x)$ tres unitats cap a l'esquerra…
A partir de la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ la gràfica de la qual s'obté en desplaçar $f(x)$ tres unitats cap a l'esquerra i dues unitats cap amunt. Quin és el domini de $g(x)$?
Determina el domini i el recorregut de la funció amb coeficient principal negatiu: $f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Determina el domini i el recorregut de la funció amb coeficient principal negatiu:
$f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Observa la gràfica adjunta que representa una funció de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que el vèrtex de…
Observa la gràfica adjunta que representa una funció de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que el vèrtex de la semiparàbola es troba en el punt $(2, 1)$ i passa pel punt $(6, -3)$.
Talls, interseccions i funció inversa
Per trobar la funció inversa, s'intercanvien $x$ i $y$ i s'aïlla la nova $y$. Com que una funció amb arrel d'índex parell no sempre és injectiva a tot $\mathbb{R}$, de vegades cal restringir primer el seu domini.
Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció: $f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció:
$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Calcula els punts d'intersecció entre la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ i la funció afí $g(x) = x + 1$.
Calcula els punts d'intersecció entre la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ i la funció afí $g(x) = x + 1$.
Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ restringint el domini original a l'interval $(-\infty, 0]$. Indica clarament el…
Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ restringint el domini original a l'interval $(-\infty, 0]$. Indica clarament el domini i recorregut de la funció inversa obtinguda.
Funcions amb arrels en la ciència i la tècnica
Sempre que una magnitud depèn del quadrat d'una altra i cal aïllar la segona, apareix una arrel: períodes d'oscil·lació, velocitats límit, radis a partir d'àrees o volums.
La relació entre l'àrea $A$ d'un cercle i el seu radi $r$ ve donada per la fórmula $A = \pi r^2$. Expressa el radi en funció de l'àrea, $r(A)$, i indica el domini de…
La relació entre l'àrea $A$ d'un cercle i el seu radi $r$ ve donada per la fórmula $A = \pi r^2$. Expressa el radi en funció de l'àrea, $r(A)$, i indica el domini de definició vàlid en aquest context geomètric.
El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple es pot aproximar mitjançant la funció $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, on $L$ és la longitud del pèndol en metres.…
El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple es pot aproximar mitjançant la funció $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, on $L$ és la longitud del pèndol en metres. Calcula la longitud necessària perquè el període sigui exactament de $2$ segons i indica el domini teòric de la funció $T(L)$ en aquest context físic.
En la teoria de la relativitat especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depèn de la velocitat $v$ d'un objecte segons la funció…
En la teoria de la relativitat especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depèn de la velocitat $v$ d'un objecte segons la funció $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $c$ és la velocitat de la llum en el buit (aproximadament $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina el domini de la funció $\gamma(v)$ i interpreta físicament què passa amb la funció quan $v$ s'acosta als extrems d'aquest domini.