Distribucions bidimensionals

Classifica les parelles següents de variables estadístiques bidimensionals segons el tipus de correlació lineal (positiva, negativa o nul·la) que cal esperar entre elles:

• El pes d'un vehicle i el seu consum de combustible per cada 100 km.

• El nombre d'hores de llum solar directa i la quantitat d'energia produïda per un panell solar.

• El número de calçat d'un adult i el seu sou mensual.

• El temps d'ús continu d'un ordinador portàtil i el percentatge de bateria restant.

En un estudi sobre el rendiment de 12 servidors, s'ha registrat la quantitat de memòria RAM assignada en GB ($X$) i el nombre de peticions processades per segon ($Y$). Es sap que $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, la mitjana de la RAM és $\bar{x} = 16$ GB i la mitjana de peticions és $\bar{y} = 22$. Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.

En una cooperativa agrícola, s'ha registrat la quantitat de fertilitzant aplicat en kg/ha ($X$) i el rendiment de la collita en tones/ha ($Y$) en 5 parcel·les experimentals:

• $X$: 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$: 2,5; 3,8; 4,2; 5,5; 6,0

Calcula les mitjanes marginals, les variàncies marginals i la covariància d'aquesta distribució bidimensional.

Sigui una distribució bidimensional $(X, Y)$ amb covariància $\sigma_{xy} = 15$ i coeficient de correlació $r = 0,6$. Si es realitza una transformació lineal sobre les variables per adaptar-les a una nova escala de mesura, de manera que $U = 2X - 3$ i $V = -0,5Y + 1$, calcula la nova covariància $\sigma_{uv}$ i el nou coeficient de correlació $r_{uv}$ entre $U$ i $V$.

Demostra matemàticament que si les equacions de les rectes de regressió de $Y$ sobre $X$ i de $X$ sobre $Y$ s'expressen en la forma $y = mx + n$ i $x = m'y + n'$ respectivament, aleshores el coeficient de correlació lineal compleix que $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Raona, a més, de què depèn el signe que pren $r$.

Observa els diagrames de dispersió següents que relacionen diferents variables en tres experiments diferents. Assigna raonadament a cada gràfic un dels coeficients de correlació lineal següents: $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

En un estudi, les variables $X$ i $Y$ prenen els valors $X \in \{2, 4, 6\}$ i $Y \in \{4, 6, 8\}$. Les distribucions marginals són idèntiques i uniformes (freqüència absoluta de 10 per a cada valor individual, sent la mida de la mostra $N=30$). A més, se sap que la distribució conjunta és perfectament simètrica ($f_{ij} = f_{ji}$) i que la freqüència conjunta per a $X=2$ i $Y=4$ és 8, per a $X=2$ i $Y=6$ és 2, i per a $X=4$ i $Y=6$ és 2.

Calcula la resta de les freqüències conjuntes de la taula i demostra que la covariància d'aquesta distribució és $\sigma_{xy} = 1,6$.