Operacions elementals

Fes la següent operació combinada amb nombres enters, respectant estrictament la jerarquia de les operacions: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcula i simplifica al màxim el resultat de la següent expressió amb fraccions: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Un dipòsit d'aigua per a reg agrícola està ple fins a les seves $\frac{3}{5}$ parts. Si s'extreu l'equivalent a $\frac{1}{4}$ de la capacitat total del dipòsit per regar una parcel·la, determina quina fracció de la capacitat total del dipòsit queda encara amb aigua.

Expressa el resultat com una única potència utilitzant les propietats de la multiplicació i divisió de potències amb la mateixa base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

En un experiment d'òptica física, la intensitat d'un senyal làser es redueix a la meitat cada vegada que travessa un filtre atenuador. Si el senyal original té una intensitat $I_0$ i travessa $5$ filtres consecutius, i posteriorment s'amplifica multiplicant-se per un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, expressa la intensitat final del senyal en funció de $I_0$ fent servir una única potència de base $2$.

Desenvolupa les expressions algebraiques següents utilitzant les identitats notables corresponents:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

El costat d'una parcel·la quadrada destinada a la instal·lació de panells solars mesura $3x - 2$ metres. Si es decideix ampliar el terreny augmentant cada costat en $4$ metres, expressa l'àrea del nou terreny i determina la diferència d'àrees entre la parcel·la nova i l'antiga, utilitzant el desenvolupament d'identitats notables.

Demostra rigorosament, mitjançant manipulació algebraica, que la diferència entre el quadrat de la suma de dos nombres reals qualssevol i el quadrat de la seva diferència és sempre igual a quatre vegades el producte d'aquests nombres. És a dir, prova que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Resol la següent operació amb fraccions anidades (castell de fraccions), simplificant pas a pas des de l'interior cap a l'exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Donada l'expressió algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, avalua el seu valor exacte per a $x = \frac{1}{2}$ i $y = -\frac{1}{3}$. Simplifica l'expressió teòricament abans de substituir els valors per facilitar el càlcul numèric.

Durant la resolució d'un problema de cinemàtica, un estudiant ha realitzat la simplificació algebraica següent: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explica mitjançant un contraexemple numèric explícit per què aquesta operació és incorrecta. A continuació, desenvolupa l'expressió $(x+y)^2$ per justificar algebraicament l'error comès, i indica sota quina condició única i excepcional sobre les variables $x$ i $y$ l'afirmació de l'estudiant resultaria numèricament certa.