Rectes i punts notables d'un triangle

Calcula les coordenades del baricentre del triangle els vértexs del qual són $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ i $C(-1, 5)$.

Troba l'equació explícita de la mitjana que parteix del vértex $A$ en el triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ i $C(2, 6)$.

Comprova analíticament si el punt $P(1, 2)$ és el baricentre del triangle de vértexs $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ i $C(5, 1)$.

Determina l'equació general de l'altura traçada des del vértex $B$ en el triangle de vértexs $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(1, -5)$.

Troba les coordenades de l'ortocentre del triangle rectangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(0, 4)$.

Un edifici té una planta triangular amb vértexs en els punts $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ i $C(2, 5)$. Calcula les coordenades de l'ortocentre d'aquest triangle.

Calcula l'equació general de la mediatriu del costat $AB$ d'un triangle sabent que els seus vértexs corresponents són $A(2, 5)$ i $B(-4, 1)$.

Calcula les coordenades del circumcentre del triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ i $C(0, 6)$.

Tres arbres en una plantació agrícola estan situats en els punts $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ i $C(1, 5)$ (coordenades expressades en desenes de metres). Es vol instal·lar un aspersor que equidisti dels tres arbres. Calcula les coordenades del punt on s'ha de col·locar (circumcentre) i el radi d'abast de l'aigua necessari per regar-los.

Tres refugis de muntanya estan situats en les coordenades $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ i $C(-2, -2)$ (expressades en quilòmetres). Un helicòpter de rescat es manté en vol estacionari en el circumcentre del triangle format pels refugis. Calcula les coordenades de l'helicòpter i el radi de la circumferència que abasta els tres refugis.

Calcula les equacions de les dues bisectrius dels angles formats per les rectes que contenen els costats d'un triangle, les equacions de les quals són $3x-4y+1=0$ i $4x+3y-5=0$.

Tres carreteres es creuen formant un triangle delimitat per les rectes $x=0$, $y=0$ i $3x+4y-12=0$. Calcula les coordenades de l'incentre per situar una rotonda tangent a les tres vies, i el radi d'aquesta rotonda.

Tres antenes de telecomunicacions formen un triangle amb vértexs a $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ i $C(5, 5)$. Calcula la ubicació del centre de gravetat (baricentre) per col·locar un transmissor central, i determina la distància exacta des d'aquest transmissor fins a l'antena $C$.

Donat el triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 6)$, troba les coordenades del seu baricentre i del seu ortocentre. A continuació, obtén l'equació general de la recta d'Euler que passa per tots dos punts.

Donats els vértexs d'un triangle $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ i $C(1, 5)$, troba les coordenades de l'ortocentre $H$, el baricentre $G$ i el circumcentre $O$. Demostra analíticament que la distància entre l'ortocentre i el baricentre és el doble de la distància entre el baricentre i el circumcentre ($HG = 2GO$).