Fins ara has mesurat els angles en graus, una unitat arbitrària heretada dels babilonis: $360$ parts iguals per a una volta, sense més raó que la tradició. Al Batxillerat apareix una segona unitat, el radià, que no és arbitrària: surt directament de comparar un arc de circumferència amb el seu radi. És la unitat que fan servir la física i l'enginyeria perquè simplifica les fórmules de rotació, des d'una sínia fins al disc d'una radial.
Imagina que agafes el radi d'una circumferència i el doblegues sobre la vora de la mateixa circumferència, com si fos un fil. L'angle que abasta aquest tros d'arc, exactament igual de llarg que el radi, és un radià. No importa si la circumferència és petita o enorme: la proporció entre l'arc i el radi és sempre la mateixa per a aquest angle.
Com que la longitud de tota la circumferència és $2\pi r$, i cada radià correspon a un arc de longitud $r$, en una volta completa hi caben exactament $2\pi$ radians. Per això $2\pi$ rad equival a $360º$: no és una coincidència, és la mateixa definició del radià.
Practica★☆☆Sense començar
Un angle mesura exactament $3$ radians. Sense utilitzar la calculadora, raona si aquest angle és més gran, més petit o igual que un angle pla ($180^\circ$) i determina…
Un angle mesura exactament $3$ radians. Sense utilitzar la calculadora, raona si aquest angle és més gran, més petit o igual que un angle pla ($180^\circ$) i determina en quin quadrant es troba.
Una volta completa són $360º$ i també $2\pi$ rad. Aquesta equivalència és la regla de tres que converteix en qualsevol direcció.
Practica★☆☆Sense començar
Expressa en radians, utilitzant fraccions irreductibles de $\pi$, els angles següents donats en graus sexagesimals: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ i $330^\circ$.
Expressa en radians, utilitzant fraccions irreductibles de $\pi$, els angles següents donats en graus sexagesimals: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ i $330^\circ$.
Calcula la suma dels angles interiors d'un octògon regular i expressa el valor de cadascun dels seus angles interiors en radians, utilitzant fraccions de $\pi$.
Calcula la suma dels angles interiors d'un octògon regular i expressa el valor de cadascun dels seus angles interiors en radians, utilitzant fraccions de $\pi$.
Igual que en graus, un angle en radians pot superar $2\pi$ (més d'una volta) o ser negatiu (gir en sentit horari). Per saber on «acaba» l'angle n'hi ha prou de restar-li o sumar-li voltes completes de $2\pi$ rad fins a deixar-lo entre $0$ i $2\pi$.
Practica★☆☆Sense començar
Redueix els angles següents a la primera volta (és a dir, troba el seu angle equivalent entre $0^\circ$ i $360^\circ$) i indica en quin quadrant es situa el costat final…
Redueix els angles següents a la primera volta (és a dir, troba el seu angle equivalent entre $0^\circ$ i $360^\circ$) i indica en quin quadrant es situa el costat final de cadascun: $1250^\circ$ i $2460^\circ$.
Troba l'angle positiu equivalent a la primera volta (comprès entre $0$ i $2\pi$ rad) per als angles negatius següents: $-\frac{\pi}{4}$ i $-\frac{13\pi}{6}$.
Troba l'angle positiu equivalent a la primera volta (comprès entre $0$ i $2\pi$ rad) per als angles negatius següents: $-\frac{\pi}{4}$ i $-\frac{13\pi}{6}$.
Aquí és on el radià demostra la seva utilitat: com que $1$ rad es va definir com un arc igual al radi, la longitud de qualsevol arc és, directament, l'angle (en radians) multiplicat pel radi, sense cap factor extra.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula l'angle central subtendut per un arc de $12$ cm de longitud en una circumferència el radi de la qual és de $4$ cm. Expressa el resultat tant en radians com en…
Calcula l'angle central subtendut per un arc de $12$ cm de longitud en una circumferència el radi de la qual és de $4$ cm. Expressa el resultat tant en radians com en graus sexagesimals.
Un aspersor de reg agrícola cobreix un sector circular. El raig d'aigua arriba a una distància màxima de $18$ metres i el cap de l'aspersor escombra un angle de…
Un aspersor de reg agrícola cobreix un sector circular. El raig d'aigua arriba a una distància màxima de $18$ metres i el cap de l'aspersor escombra un angle de $140^\circ$. Calcula l'àrea total del terreny regat i la longitud de l'arc exterior que descriu l'aigua.
Quan alguna cosa gira —un disc, una roda, el feix d'un far— interessa saber quin angle recorre per unitat de temps: això és la velocitat angular, i com que l'angle natural per descriure girs és el radià, es mesura en radians per segon.
Practica★★☆Sense començar
Un disc de vinil gira en un tocadiscs a una velocitat de $33$ revolucions per minut (rpm). Calcula la seva velocitat angular en radians per segon i determina l'angle, en…
Un disc de vinil gira en un tocadiscs a una velocitat de $33$ revolucions per minut (rpm). Calcula la seva velocitat angular en radians per segon i determina l'angle, en radians, que descriu un punt de la seva vora en $2,5$ segons.
El sistema de transmissió d'una màquina industrial consta de dues politges connectades per una corretja tensa. La politja motriu té un radi de $15$ cm i la politja…
El sistema de transmissió d'una màquina industrial consta de dues politges connectades per una corretja tensa. La politja motriu té un radi de $15$ cm i la politja conduïda té un radi de $45$ cm. Si la politja motriu gira un angle de $\frac{7\pi}{2}$ radians, calcula quants radians gira la politja conduïda i quantes voltes completes dona.
El radi de les rodes d'un automòbil és de $32$ cm. Si el vehicle viatja a una velocitat constant de $90$ km/h, calcula la velocitat angular de les rodes expressada en…
El radi de les rodes d'un automòbil és de $32$ cm. Si el vehicle viatja a una velocitat constant de $90$ km/h, calcula la velocitat angular de les rodes expressada en radians per segon. Posteriorment, determina l'angle total girat per una roda en un trajecte de $15$ minuts i converteix-lo a nombre de voltes completes.