Representació gràfica de funcions

Troba els punts de tall de la gràfica de $f(x) = x^3 - 4x$ amb els eixos de coordenades.

Comprova que la funció $f(x) = x^3 - x$ és senar i explica quin avantatge suposa aquesta simetria a l'hora de representar-la gràficament.

Estudia i representa la funció biquadrada $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetria, punts de tall amb els eixos, intervals de monotonia, extrems relatius i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: domini, punts de tall, asímptotes verticals i horitzontals amb els seus límits, monotonia mitjançant la derivada i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$: domini, punts de tall, asímptota vertical, asímptota obliqua (realitza la divisió), intervals de monotonia i extrems relatius, i dibuix de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Realitza l'estudi complet i la representació gràfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Domini, punts de tall i simetries.

1. b) Asímptotes vertical, horitzontal i obliqua, amb els límits corresponents.

1. c) Intervals de monotonia i extrems relatius.

1. d) Posició de la corba respecte de l'asímptota obliqua i dibuix final.

Estudia i representa gràficament la funció $f(x) = x^3 - 3x^2$ seguint aquests passos:

1. a) Punts de tall amb els eixos.

1. b) Derivada, punts singulars i intervals de monotonia.

1. c) Màxims i mínims relatius.

1. d) Dibuixa la gràfica recollint tota la informació anterior.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es mesura la temperatura d'un vas d'aigua calenta en una cuina a $20\ \text{°C}$ i s'obtenen les dades de la figura. El model proposat és $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, amb $t$ en minuts.

1. a) Comprova que el model és coherent amb les primeres dades de la figura.

1. b) Estudia la monotonia de $T(t)$ per a $t \geq 0$ mitjançant la seva derivada.

1. c) Calcula l'asímptota horitzontal i interpreta el seu significat físic.

1. d) Esbossa la gràfica del model per a $t \geq 0$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia i representa la funció $f(x) = x + \frac{1}{x}$: domini, simetria senar, absència de talls amb l'eix d'abscisses (raona-la), asímptotes vertical i obliqua, intervals de monotonia, extrems relatius amb els seus valors i dibuix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un enginyer està dissenyant el perfil d'una muntanya russa. El primer tram de descens segueix l'equació $y = -x^2 + 4$ per a $x \le 1$. Per suavitzar la transició cap a la pujada, decideix empalmar en $x = 1$ un segon tram amb forma de paràbola $y = a(x - 2)^2 + b$ per a $x > 1$.

Perquè l'empalmament sigui suau, la funció total ha de ser contínua i derivable en $x = 1$ (sense salts ni pics). A més, en aquest punt ha de canviar la curvatura: el primer tram és còncau i el segon ha de ser convex, de manera que $x = 1$ sigui un punt d'inflexió.

1. a) Troba els valors de $a$ i $b$ imposant la continuïtat i la derivabilitat en $x = 1$.

1. b) Comprova que amb aquests valors es compleix el canvi de curvatura en $x = 1$, estudiant el signe de la segona derivada de cada tram.

Una propietat geomètrica fonamental de les funcions convexes ($\cup$) és que el segment de recta que uneix dos punts qualssevol de la seva gràfica sempre queda per sobre de la corba.

Comprova analíticament aquesta propietat per a la funció $f(x) = x^2$. Per a fer-ho, troba l'equació de la recta secant que passa pels punts de la gràfica amb abscisses $x = -1$ i $x = 3$. Després, calcula el valor de la recta a $x = 1$ i comprova que és estrictament més gran que $f(1)$.

Descriu i dibuixa a la teva llibreta un esbós d'una funció contínua $f(x)$ definida en el domini $[-5, 5]$ que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• És simètrica senar (simetria respecte a l'origen).

• Té un màxim relatiu a $x = 2$ i un mínim relatiu a $x = -2$.

• Té exactament tres punts d'inflexió situats a $x = -3$, $x = 0$ i $x = 3$.

• És convexa ($\cup$) en els intervals $(-3, 0) \cup (3, 5]$.

• És còncava ($\cap$) en els intervals $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.