Recta de regressió de y sobre x
Quan el núvol de punts mostra una tendència lineal, té sentit resumir-lo amb una recta que permeti predir. Però hi ha dues rectes possibles —predir $Y$ a partir de $X$, o $X$ a partir de $Y$— i en general són diferents. Entendre per què, i quan podem confiar en una predicció, és l'objectiu d'aquest apartat.
La recta de regressió de $Y$ sobre $X$
Coneguts els paràmetres estadístics d'una distribució bidimensional: mitjana de $X$ igual a $4$, mitjana de $Y$ igual a $6$, variància de $X$ igual a $1,5$ i covariància…
Coneguts els paràmetres estadístics d'una distribució bidimensional: mitjana de $X$ igual a $4$, mitjana de $Y$ igual a $6$, variància de $X$ igual a $1,5$ i covariància igual a $3$. Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.
Una distribució bidimensional té per matriu de dades els sumatoris següents: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, i el nombre…
Una distribució bidimensional té per matriu de dades els sumatoris següents: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, i el nombre total d'observacions és $N = 10$. Calcula la covariància i la variància de $X$, i escriu l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.
Les dues rectes i la seva relació amb $r$
Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional vénen donades per les equacions $y = 0,5x + 4$ i $x = 1,6y - 2$. Determina les coordenades del centre de gravetat…
Les rectes de regressió d'una distribució bidimensional vénen donades per les equacions $y = 0,5x + 4$ i $x = 1,6y - 2$. Determina les coordenades del centre de gravetat de la distribució i el coeficient de correlació lineal $r$, indicant-ne el signe raonadament.
En una anàlisi macroeconòmica, es relaciona la taxa d'inflació ($X$, en $\%$ ) amb la taxa d'atur ($Y$, en $\%$). La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és…
En una anàlisi macroeconòmica, es relaciona la taxa d'inflació ($X$, en $\%$ ) amb la taxa d'atur ($Y$, en $\%$). La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = -0,6x + 8$. Si la variància marginal de la inflació és $\sigma_x^2 = 4$ i la variància marginal de l'atur és $\sigma_y^2 = 2,25$, determina el coeficient de correlació lineal $r$ i el percentatge de la variabilitat de l'atur que queda explicada pel model de regressió lineal.
Quan $|r|=1$, les dues rectes coincideixen: demostració
Demostra analíticament que si les variables $X$ i $Y$ tenen una correlació lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), aleshores la recta de regressió de $Y$ sobre $X$…
Demostra analíticament que si les variables $X$ i $Y$ tenen una correlació lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), aleshores la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ coincideix exactament amb la recta de regressió de $X$ sobre $Y$. Explica breument quina implicació geomètrica té això sobre l'angle que formen totes dues rectes en el pla.
En una investigació farmacèutica, es modelitza la concentració d'un principi actiu en sang ($Y$, en mg/L) en funció de la dosi administrada ($X$, en mg). Si fem un canvi…
En una investigació farmacèutica, es modelitza la concentració d'un principi actiu en sang ($Y$, en mg/L) en funció de la dosi administrada ($X$, en mg). Si fem un canvi de variable estandarditzant totes dues variables, és a dir, definim $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ i $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demostra algebraicament que la recta de regressió de $Z_y$ sobre $Z_x$ passa per l'origen de coordenades i que el seu pendent és exactament el coeficient de correlació lineal $r$.
Predir amb prudència: interpolació i extrapolació
En un experiment de termodinàmica es mesura la temperatura d'un líquid ($Y$, en ºC) en funció del temps transcorregut ($X$, en minuts). La recta de regressió obtinguda…
En un experiment de termodinàmica es mesura la temperatura d'un líquid ($Y$, en ºC) en funció del temps transcorregut ($X$, en minuts). La recta de regressió obtinguda és $y = -1,5x + 85$. Sabent que el coeficient de determinació és $R^2 = 0,95$ i que l'experiment va tenir una durada total de $30$ minuts, és fiable estimar la temperatura als $45$ minuts usant aquesta recta? Justifica la teva resposta basant-te en els conceptes d'interpolació i extrapolació.
En un estudi de biomecànica, s'analitza la relació entre la longitud del fèmur ($X$, en cm) i l'alçada d'un individu ($Y$, en cm). Es disposa dels resums estadístics…
En un estudi de biomecànica, s'analitza la relació entre la longitud del fèmur ($X$, en cm) i l'alçada d'un individu ($Y$, en cm). Es disposa dels resums estadístics següents per a una mostra de $50$ persones:
$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.
Troba la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i estima l'alçada d'una persona el fèmur de la qual mesura $48$ cm. Justifica breument la fiabilitat d'aquesta estimació.