Combinacions lineals de vectors. Bases

Calcula les coordenades del vector resultant de la combinació lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabent que $\vec{a} = (1, 4)$ i $\vec{b} = (-2, 5)$.

Sabent que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, amb $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ i $\vec{w} = (2, 7)$, troba el valor de l'escalar $k$.

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -3)$ i $\vec{v} = (-4, 6)$, justifica matemàticament si poden formar una base de l'espai vectorial $\mathbb{R}^2$.

Determina el valor del paràmetre $m$ perquè els vectors $\vec{p} = (m, 4)$ i $\vec{q} = (3, -2)$ siguin linealment dependents.

Raona si tres vectors no nuls en el pla, per exemple $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ i $\vec{w} = (3, 0)$, poden ser linealment independents simultàniament.

Expressa el vector $\vec{c} = (5, -2)$ com a combinació lineal dels vectors de la base canònica $\vec{i} = (1, 0)$ i $\vec{j} = (0, 1)$.

En el motor físic d'un videojoc, el moviment d'un personatge es defineix en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, on $\vec{u} = (2, 1)$ i $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personatge s'ha de desplaçar al punt indicat pel vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecte a la base canònica, quines seran les coordenades del vector de desplaçament en la base $B$?

Comprova si el conjunt de vectors $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del pla.

Comprova si els vectors $\vec{u} = (3, 0)$ i $\vec{v} = (0, -2)$ formen una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Determina un vector $\vec{v}$ tal que el conjunt $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ formi una base ortonormal, sabent que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. És única la solució? Justifica la teva resposta.

Un dron submarí es desplaça en un entorn amb corrents marins. El seu sistema de navegació autònoma utilitza una base formada pels vectors $\vec{c}_1 = (1, 2)$ i $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplaçament $\vec{w}$ les coordenades del qual en aquesta base són $(4, -1)_B$. Calcula les coordenades del vector $\vec{w}$ en la base canònica.

Dos remolcadors tiren d'un vaixell avariat amb forces $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N i $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador s'hi uneix aplicant una força $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Expressa la força $\vec{F}_3$ com a combinació lineal dels vectors $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$, trobant les coordenades de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

Demostra analíticament que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ és una base dels vectors del pla, aleshores el conjunt $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ també forma una base. Si un vector $\vec{w}$ té coordenades $(3, 5)$ en la base $B$, troba les seves coordenades en la nova base $B'$.