El·lipse
Clava dues xinxetes en un tauler, lliga els extrems d'un fil a cadascuna i traça amb un llapis mantenint el fil sempre tens: dibuixes una el·lipse. És la corba de les òrbites planetàries (amb el Sol en un focus, no al centre) i de sales amb «efecte xiuxiueig» com la Galeria dels Murmuris.
L'el·lipse com a lloc geomètric
Igual que traçaries l'el·lipse amb el fil: arrossega P per la circumferència de repàs si necessites recordar què vol dir «lloc geomètric» abans de continuar.
Donada l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, les dels seus focs i el valor de la seva excentricitat.
Donada l'el·lipse d'equació $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determina les coordenades dels seus vèrtexs, les dels seus focs i el valor de la seva excentricitat.
Elements i equació reduïda
Escriu l'equació reduïda d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades, sabent que un dels seus focs és el punt $F(4, 0)$ i que la longitud del seu eix major és $10$.
Escriu l'equació reduïda d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades, sabent que un dels seus focs és el punt $F(4, 0)$ i que la longitud del seu eix major és $10$.
Una el·lipse té el centre al punt $C(-2, 3)$, el seu eix major és paral·lel a l'eix d'abscisses i mesura $12$ unitats, i el seu eix menor mesura $8$ unitats. Escriu la…
Una el·lipse té el centre al punt $C(-2, 3)$, el seu eix major és paral·lel a l'eix d'abscisses i mesura $12$ unitats, i el seu eix menor mesura $8$ unitats. Escriu la seva equació en forma canònica.
L'excentricitat: quant s'aplana l'el·lipse
Calcula l'excentricitat de l'el·lipse l'equació de la qual és $16x^2 + 25y^2 = 400$.
Calcula l'excentricitat de l'el·lipse l'equació de la qual és $16x^2 + 25y^2 = 400$.
L'òrbita de Mercuri al voltant del Sol és una el·lipse en la qual el Sol ocupa un dels seus focs. La distància mínima de Mercuri al Sol (periheli) és de $46$ milions de…
L'òrbita de Mercuri al voltant del Sol és una el·lipse en la qual el Sol ocupa un dels seus focs. La distància mínima de Mercuri al Sol (periheli) és de $46$ milions de quilòmetres, i la distància màxima (afeli) és de $70$ milions de quilòmetres. Calcula l'excentricitat de l'òrbita de Mercuri i la longitud del seu semieix menor en milions de quilòmetres.
Equació general i el·lipses traslladades
Si el centre no és a l'origen, l'equació reduïda es trasllada igual que la de la circumferència: canvia $x$ per $x-x_0$ i $y$ per $y-y_0$.
$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$A partir de l'equació de l'el·lipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica les coordenades del seu centre i la longitud dels seus semieixos.
A partir de l'equació de l'el·lipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica les coordenades del seu centre i la longitud dels seus semieixos.
Donada l'equació general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demostra que correspon a una el·lipse. Per a fer-ho, expressa-la en forma canònica i determina les…
Donada l'equació general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demostra que correspon a una el·lipse. Per a fer-ho, expressa-la en forma canònica i determina les coordenades del seu centre, els seus vèrtexs i els seus focs.
Investigar una família d'el·lipses amb geometria dinàmica
Abans de construir, prediu: si els focus se separen mantenint constant la suma de distàncies, l'el·lipse serà més circular o més allargada?
En una eina de geometria dinàmica, crea un lliscador c entre 0 i 4,5, fixa $a=5$ i col·loca $F_1=(-c,0)$, $F_2=(c,0)$. Representa l'equació $x^2/25+y^2/(25-c^2)=1$. Situa un punt P sobre la corba i mesura les seves distàncies als focus. En moure P, registra la suma; en canviar c, registra el semieix vertical. Els noms de les eines depenen del programa; l'equació i les coordenades especifiquen la construcció.
Les dues corbes tenen $a=5$; la més estreta té els focus més separats:
Presenta una captura o taula i una conclusió. Un company intenta refutar-la triant un altre c; discutiu si hi ha un contraexemple o un error de construcció. No facis servir $c=5$ a l'equació: anul·laria un denominador i el lloc degeneraria en un segment. Per a una el·lipse no degenerada cal que $2a>2c$; $c=0$ correspon al cas circular.
Torna al principi: A les sales amb efecte xiuxiueig, qualsevol so emès des d'un focus rebota a les parets el·líptiques i convergeix exactament a l'altre focus, perquè totes les trajectòries de rebot recorren la mateixa distància total ($2a$).